Considere o seguinte campo de vetores F → x , y = 1 - 2 x y - x 2 , 1 y - x 2 e seja D o seu domínio de definição. Considere as seguintes afirmações:

  1. F → é conservativo e seu domínio é simplesmente conexo
  2. F → não é conservativo e seu domínio D não é simplesmente conexo
  3. F → admite um potencial φ e φ 0,4 -   φ 0,1 = ln ⁡ 4

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

O problema nos dá um campo de vetores F → e quer saber da gente sobre algumas coisas desse campo de vetores. Quais por exemplo? Desse campo de vetores podemos ver se é conservativo. Porque é útil saber se um campo de vetores é conservativo? Porque um campo de forças conservativo uma vez que percorre um caminho, nesse caminho ele tem uma energia, e, portanto, essa energia é conservativa. Saca das energias conservativas? A energia elétrica por exemplo é conservativa, a energia térmica também.

O bacana delas serem conservativas é que a energia elétrica pode se transformar em energia térmica, ou vice-versa, como quando o seu chuveiro pela eletricidade esquenta a água. Legal, né? Então saber se um campo de vetores é conservativo é muito importante.

Isso é muito belo e tudo e tals, mas como podemos calcular isso? Bom, se um campo de forças é conservativo, então ele não sofre perdas dissipativas e é sempre constante, logo o seu rotacional é nulo. Assim, seja F → conservativo, então:

∇ → × F → = 0

E uma vez que a função é conservativa ela admite uma função potencial. Mas como? Bom, temos uma sacada que nos leva que a função potencial é o divergente do campo F → , logo:

F → = ∇ ∙ φ  

Aplicando o rotacional de ambos os lados:

∇ → × F → = ∇ → × ∇ ∙ φ

Mas sabemos que o rotacional do divergente de uma função é nulo, logo:

∇ → × ∇ ∙ φ = 0 → ∴ ∇ → × F → = ∇ → × ∇ ∙ φ = 0

E pronto! Já temos todo o material necessário para respondermos a nossa questão, vamos lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Agora vamos ver se F → é conservativo, logo:

∇ → × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 1 - 2 x y - x 2 1 y - x 2 0

Aplicando a regra de Sarrus, temos que:

0 - 0 i ^ - 0 - 0 j ^ + 2 x y - x 2 2 - 2 x y - x 2 2 k ^ = 0

Logo vemos que ∇ → × F → = 0 , logo F → é um campo forças conservativas!

Aqui já concluímos que a afirmativa I é verdade. MAS CALMA, E O DOMINIO SIMPLESMENTE CONEXO, ESQUECEU? Calma, meu jovem! Lembra do lance da energia ser conservativa? Então, se ela conservativa ela se conserva no caminho, logo o caminho da ida e o caminho da volta somam 0, assim:

W = ∮ D F   r d r = 0

Onde W é o trabalho da energia conservativa. Logo se provamos que ela é conservativa também provamos que ela possui um domínio simplesmente conexo, ou seja, não há buracos no domínio.

Sendo a afirmativa I verdade, concluímos que a II é falsa.

Agora nos resta ver se a afirmativa III é falsa ou verdadeira.

Passo 3

Como já dito, sendo F → conservativo, admite uma função potencial:

F = ∇ φ

Podemos integrar de ambos os lados e obter:

φ = ∫ F d r

Assim:

φ 1 = ∫ F x d x

φ 2 = ∫ F y d y

Substituindo, temos:

φ 1 = ∫ 1 - 2 x y - x 2 d x

φ 2 = ∫ 1 y - x 2 d y

Podemos separar em duas integrais, uma da parte d x e outra da parte d y .

Vamos resolver essas integrais?!

Passo 4

Para a primeira com d x :

φ 1 = ∫ 1 - 2 x y - x 2 d x

Sabendo que a soma das integrais é a integral da soma, podemos fazer:

∫ 1 * d x - ∫ 2 x y - x 2     d x

Integrando a primeira, temos:

x + C - ∫ 2 x y - x 2     d x

Para a outra integral, façamos uma substituição:

y - x 2 = u

Logo:

d u d x = - 2 x

Assim a nossa integral fica:

x + C + ∫ 1 u   d u

Integrando em u , temos:

x + C + ln ⁡ u + C

Mas sabemos que u = y - x 2 como mudamos antes, certo? Portanto:

φ 1 = x + C - ∫ 2 x y - x 2     d x = x + C + ln ⁡ y - x 2 + C

Agora vamos para integral com d y ?

Temos:

φ 2 = ∫ 1 y - x 2 d y

Façamos uma substituição:

y - x 2 = u

Logo

d u d y = 1

Assim a nossa integral fica:

∫ 1 y - x 2 d y = ∫ 1 u   d u

Integrando em u , temos:

∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + C

Mas sabemos que u = y - x 2 , certo? Então:

φ 2 = ∫ 1 y - x 2 d y = ln ⁡ y - x 2 + C

Obtemos o valor das duas integrais, o que fazemos agora?

Passo 5

Então temos que:

φ 1 = x + C + ln ⁡ y - x 2 + C

φ 2 = ln ⁡ y - x 2 + C

Como é a função potencial geral φ ? É os termos comuns de φ i com os termos adicionais. AAN? Por exemplo, vemos que ln ⁡ y - x 2 se repete, logo não podemos pegá-lo duas vezes, e por exemplo o x está sozinho, e devemos pegá-lo. Quanto às constantes C , elas no momento não nos são uteis porque vamos definir intervalos definidos, onde ela some. Assim:

φ = ln ⁡ y - x 2 + x

E agora sim nos pedem para verificar em φ 0,4 -   φ 0,1 . Assim:

φ 0,4 -   φ 0,1 = ln ⁡ 4 - 0 + 0 - ln ⁡ 1 - 0 + 0

Sabemos que ln ⁡ 1 = 0 , vemos então que

φ 0,4 -   φ 0,1 = ln ⁡ 4  

E temos o resultado afirmativo do item III, concluindo assim que é verdadeiro.

Concluímos então que somente as alternativas I e III são verdadeiras.

UUUUFAAA, acabamos! Obrigado por ter vindo até aqui comigo.

Resposta

Somente as alternativas I e III são verdadeiras.

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