Considere o campo

F = y z   i ^ + x z   j ^ + x y + 2 z k ^

a) Verifique que F é conservativo e calcule f x , y , z tal que ∇ f = F .

b) Seja S uma superfície de nível da função f , do item anterior. Calcule

∫ P Q F d r ,

onde P e Q são dois pontos arbitrários de S .

Passo 1

a) Um bom começo para verificar se um campo é conservativo é calcular o rotacional dele. Usamos essa fórmulinha:

r o t   F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

Nosso campo é:

F = F 1 , F 2 , F 3 = y z ,   x z , x y + 2 z

Então precisamos calcular:

r o t   F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y z x z x y + 2 z

r o t   F → = ∂ x y + 2 z ∂ y - ∂ x z ∂ z i ^ - ∂ x y + 2 z ∂ x - ∂ y z ∂ z j ^ + ∂ x z ∂ x - ∂ y z ∂ y k ^

r o t   F → = x - x i ^ - y - y j ^ + z - z k ^

r o t   F → = 0,0 , 0

Cara, o rotacional deu um vetor nulo. Quando achamos esse valor podemos suspeitar que nosso campo é conservativo. Aí como a gente confirma as nossas suspeitas?

A gente tem que olhar para as funções que definem as componentes do nosso campo, e analisar se elas são contínuas para todo ( x , y , z ) e se suas derivadas são contínuas.

Olha para esse bonito:

F = y z ,   x z , x y + 2 z

Vemos que as funções não tem nenhum tipo de restrição no domínio (tipo, um denominador que pode zerar) e nem suas derivadas terão. E isso diz para gente que o campo está bem definido para todo x , y , z como precisamos, e então ele é conservativo mesmo!

Passo 2

Ele quer que a gente ache a função potencial desse campo. O vetor gradiente dela é igual ao campo F . Aí podemos escrever:

F = ∇ f ∴ y z ,   x z , x y + 2 z = f x , f y , f z

Daí a gente tira que:

f x = y z ,       f y = x z ,     f z = x y + 2 z

A ideia aqui é que a gente precisa achar a expressão de f ( x , y , z ) através dessas derivadas parciais. Fazendo o caminho inverso da derivação: a integração.

Olhando para a derivada parcial em x , vamos integrar sua expressão em relação a x , fazendo o caminho inverso:

f x = y z ∴ f = ∫ y z   d x = x y z + A y , z

E quem é aquele termo A y , z ali? É porque se a gente derivar f em relação a x e tiver umas funções de y e z somando do lado, elas zeram né? Então quando a gente faz o caminho inverso, precisamos supor que elas poderiam estar ali na nossa função.

Aí fazendo o mesmo para as outras derivadas:

f y = x z ∴ f = ∫ x z   d y = x y z + B x , z

f z = x y + 2 z ∴ f = ∫ x y + 2 z   d z = x y z + z 2 + C ( x , y )

Passo 3

Agora a gente compara todas expressões que achamos para f , para descobrir quando vale A y , z ,   B x , z e C x , y :

f = x y z + A y , z

f = x y z + B x , z

f = x y z + z 2 + C ( x , y )

Repara que x y z aparece em todas, então com certeza nossa função tem esse cara.

Repara que aparece o termo z 2 na última expressão, mas ele está representado por A e B nas outras expressões, então ele também aparece. E a gente vê também que não existe nenhum termo só de x e y .

Com essas observações, a gente chega na nossa função:

f x , y , z = x y z + z 2

Passo 4

Para achar uma superfície de nível da nossa função é só igualar ela a um valor k constante (genérico mesmo). Assim:

f x , y , z = x y z + z 2 = k

S :   x y z + z 2 = k

Ele quer que a gente calcule a integral de linha vetorial de P a Q , no nosso campo F , sendo que esses pontos pertencem a superfície da linha anterior.

Como o nosso campo é conservativo, a integral de linha vetorial não depende do caminho. Na verdade, a gente pode usar a nossa função potencial para escrever que ela vale:

∫ P Q F d r = f Q - f P

Passo 5

É a diferença entre o valor da nossa função potencial nos dois pontos dados! Vamos dar uns nomes genéricos para as coordenadas desses pontos:

Q = x Q , y Q , z Q

P = x P , y P , z P

Vamos substituir isso na nossa continha ali para a integral, sabendo que

f x , y , z = x y z + z 2

∫ P Q F d r = x Q y Q z Q + z Q 2 - x P y P z P + z P 2  

Mas lembra que Q e P pertencem a nossa superfície de nível? Isso quer dizer que os dois pontos satisfazem a equação dela:

x y z + z 2 = k

x Q y Q z Q + z Q 2 = k

x P y P z P + z P 2 = k

Por isso a gente pode escrever que:

∫ P Q F d r = k - k = 0

Resposta

a) f x , y , z = x y z + z 2

b) ∫ P Q F d r = 0

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