(a) Determine uma função f tal que F = ∇f e (b) use a parte (a) para calcular ∫ C F ⋅ d r sobre a curva C dada.

F   ( x ,   y )   =   x y ²   î   +   x ²   y ĵ C :   t + s e n π t 2 î   + t + c o s π t 2 ĵ ,     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para determinar uma função escalar f, tal que o campo vetorial F(x,y) possa ser escrito como gradiente desse campo escalar:

F ( x , y ) = ∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Se isso ocorrer, a integral de linha do campo vetorial F entre dois pontos A e B não depende do caminho e o campo F é chamado campo vetorial conservativo. Então, vamos verificar se existe alguma função f tal que F seja gradiente dela, para podermos calcular a integral de caminho de F do ponto t = 0, ( 0,1 ) , até o ponto t = 1, (2, 1). Então vamos lá verificar!

Passo 2

Como a componente x da função F é dada por x y ² , temos que sua integral em relação à x, onde consideramos y como constante, é dada por

∫ x y ² d x = x ² y ² 2 + C ( y )

Onde C(y) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de y, já que estamos integrando apenas em x. Agora, precisamos fazer a mesma coisa para a componente y de F, dessa vez, integrada em y, considerando x como constante. Integrando, obtemos

∫ x ²   y d y = x ² y ² 2 + C ( x )

Das expressões para as integrais de F x   e F y   vemos que as funções são iguais, sem a necessidade da adição de uma função apenas de x, C(x), ou de uma função apenas de y, C(y). Como uma família de funções tem a mesma derivada devido a um termo constante cte, temos que os potenciais f tais que seus gradientes nos geram o campo vetorial F são da forma:

f ( x , y ) = x ² y ² 2 +   c t e

Se derivarmos f em relação à x, obtemos a componente F x   , e se derivarmos f em relação à y, obtemos a componente F y   , para qualquer que seja o valor da constante cte. Ou seja, o campo vetorial F pode ser escrito como o gradiente de um potencial f e, portanto, é conservativo. Ou seja, podemos calcular a integral de linha entre os pontos (0,1) e (2,1) sem nos preocupar com o caminho escolhido. Então bora lá integrar!

Passo 3

Como a integral não depende do caminho, vamos definir uma curva r(t) parametrizada por um parâmetro t, tal que

r ( t ) = ( t , 1 ) ,   0 ≤ t ≤ 2

Onde a curva começa no ponto (0,1) e termina no ponto (2,1).

Então, sobre essa curva, o campo vetorial F assume a forma

F ( x ( t ) , y ( t ) ) = t ⋅ 1 ² ,   t ² ⋅ 1 = t ,   t ²

Agora, precisamos calcular um vetor tangente à curva v = d r d t , tal que possamos escrever os deslocamentos dx e dx em função de dt. Calculando um vetor tangente à curva r(t), obtemos

v = d r d t = d d t t , 1 = ( 1,0 )

Então, podemos escrever dx e dy como

d x = d x d t d t = 1 ⋅ d t

d y = d y d t d t = 0 ⋅ d t = 0

Então, para calcular a integral de linha de F ao longo da curva r(t), fazemos o produto escalar de F com d r = v ⋅ d t . Assim, obtemos

∫ 0 2 t ⋅ 1 ⋅ d t + ∫ 0 2 t ² ⋅ 0 ⋅ d t = t ² 2 = 2 ² 2 = 2

Então, apesar de termos utilizado uma curva diferente da definida no enunciado, temos que a integral de F ao longo da curva C :   t + s e n π t 2 î   + t + c o s π t 2 ĵ ,     0 ≤ t ≤ 1 é igual à 2, pois a integral não depende do caminho.

Resposta

f ( x , y ) = x ² y ² 2 +   c t e

∫ C F ⋅ d r = 2

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