Seja F → = P , Q = cos ⁡ x 2 + x 2 y 3 - y 2 - x , x 3 y 2 + ln ⁡ 2 - x

  1. F → é conservativo? Por quê?
  2. Calcule ∫ C F → ∙ d r → , C : 1 2 + 1 2 cos ⁡ t , 1 2 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π
  3. Calcule ∫ C F → ∙ d r → , C : x - 1 2 + y 2 = 1 ,   x ≤ 1 , orientada no sentido anti-horário

Passo 1

Letra a) Para descobrirmos se essa parada é conservativa temos que achar

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Nesse exercício ele fez F 1 = P e F 2 = Q , mas as contas são as mesmas

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x 3 y 2 + ln ⁡ 2 - x = 3 x 2 y 2 + - 1 2 - x = 3 x 2 y 2 - 1 2 - x

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y cos ⁡ x 2 + x 2 y 3 - y 2 - x = 0 + 3 x 2 y 2 - 1 2 - x

Vamos ter

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Passo 2

Beleza, essa é uma condição necessária, mas não suficiente! A outra condição para termos algo suficiente para falar que esse campo de fato é conservativo é um domínio simplesmente conexo.

Em outras palavras, é um domínio que não tenha problema de se criar curvas fechadas, pois qualquer ponto do interior dessa curva o campo funciona (é contínuo ):

F → = P , Q = cos ⁡ x 2 + x 2 y 3 - y 2 - x , x 3 y 2 + ln ⁡ 2 - x

O campo F → como pode ver, tem um problema quando x ≥ 2 , pois o ln ⁡   não existiria nessas condições, mas em qualquer outro ponto do lado esquerdo, funcionaria.

Então nesse domínio ela é conservativa, pois aquela subtração de derivadas zerou e estamos em um domínio simplesmente conexo, sacou ?

Passo 3

Repara que temos aquela função cos ⁡ x 2 , e para achar a função potencial devemos integrar essa parada, mas sinceramente a integral disso não é nada simples nem fácil de fazer, eu mesmo não faço ideia como resolver.

Então vamos ignorar a função potencial por enquanto, vamos usar as propriedades de campos conservativos para prosseguir com os cálculos:

1º - propriedade nos fala que se f é uma função potencial de um campo F → , então

∫ C F → ∙ d r → = f A - f B

Onde A e B são os pontos iniciais e finais da curva!

2º - O caminho não importa, apenas esses dois pontos mesmo!

Passo 4

Letra b) Repara que o ponto inicial dessa parada vai ser em t = 0 , esse ponto vai ser

1 2 + 1 2 cos ⁡ 0 , 1 2 sen ⁡ 0 = 1 2 + 1 2 1 , 1 2 0 = 1 2 + 1 2 , 0 = 1,0

E o ponto final vai ser em t = 2 π , esse ponto vai ser

1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 π , 1 2 sen ⁡ 2 π = 1 2 + 1 2 1 , 1 2 0 = 1 2 + 1 2 , 0 = 1,0

Que é o mesmo ponto, então a integral de linha nessa curva vai ser 0 , isso porque a integral de linha vai ficar, com f sendo a função potencial

∫ C F → ∙ d r → = f 1,0 - f 1,0 = 0

Passo 5

Letra C) Vamos começar entendendo os pontos que o problema quer: ele deu uma circunferência com centro em 1,0 e raio 1 . Ele quer que a parada tenha x ≤ 1 . Isso nos diz que a circunferência vai ser a “banda” da direita. Vai ficar algo assim

Ele vai de 1,1 até 1 , - 1 .

Lembra das propriedades de campos conservativos? O caminho não importa, então vamos pegar uma reta que vai direto de um ponto ao outro, a sua parametrização vai ficar

σ t = 1 , - t

Com t ∈ - 1,1

Passo 6

Precisamos fazer agora σ '

σ ' t = 0 , - 1

Passo 7

A integral de linha vai ficar

∫ C F → ∙ d r → = ∫ - 1 1 cos ⁡ 1 2 + 1 2 - t 3 - - t 2 - 1 , 1 3 - t 2 + ln ⁡ 2 - 1 ∙ 0 , - 1 d t

∫ - 1 1 cos ⁡ 1 - t 3 + t 1 , t 2 + ln ⁡ 1 ∙ 0 , - 1 d t = ∫ - 1 1 cos ⁡ 1 - t 3 + t , t 2 + 0 ∙ 0 , - 1 d t

⇒ ∫ - 1 1 - t 2 d t = - t 3 3 t = - 1 1 = - 1 3 3 - - - 1 3 3 = - 1 3 3 - - - 1 3

⇒ - 1 3 - 1 3 = - 1 3 - 1 3 = - 2 3

Resposta

  1. Sim, é conservativo.
  2. 0
  3. - 2 3

Exercícios de Livros Relacionados

6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2