Exercícios Resolvidos de Função Potencial

Campos conservativos

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).

A função f x , y , z = 1 r , onde r = x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 ≠ 0 , é um potencial para o campo F → r = - 1 r 3 r → , para r → = x , y , z ∈ R 3 - 0,0 , 0 .

Passo 1

Bom, para f ser um potencial do campo F → , precisamos que:

F → = ∇ f

Onde é o operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Temos que mostrar então o seguinte:

F → r = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Primeiro, nós vamos trabalhar com o lado esquerdo dessa equação, depois com o direito, ok?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O campo F → pode ser escrito como:

F → r = - x r 3 , - y r 3 , - z r 3

Substituindo o valor de r dado pelo enunciado:

F → x , y , z = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Beleza?

Passo 3

A função potencial f , pode ser escrita como:

f x , y , z = 1 r = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2

Logo,

∂ f ∂ x = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

∂ f ∂ y = - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

∂ f ∂ z = - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

O que nos dá

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Passo 4

Assim, nós provamos que:

F → = ∇ f = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Resposta

Verdadeira.

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