Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P2 - 2012, Questão 1b

Seja F x , y = 3 x 2 + 2 1 + y , x 1 + y + y 3 . Determine o domínio do campo F e mostre que F é conservativo. Calcule

γ   F . d r

γ t = 4 t 2 + t 2 + 9 ,   3 t 2 - 1 ,   t [ - 1,1 ]

Passo 1

Bom, a gente poderia começar calculando o rotacional desse campo, na verdade, apenas o termo F 2 x - F 1 y porque só temos 2 coordenadas. Mas repara que o problema pediu para a gente provar que (não se) o campo é conservativo e depois calcular a integral de linha que ele pede.

Logo, já sabemos que ele é conservativo. Claro, calcular o rotacional prova isso, mas calcular a função potencial do campo também. E isso, já vamos fazer de qualquer forma para calcular a integral de linha, então não vamos perder tempo, vamos calcular a função potencial direto né.

Note um detalhe aqui, o nosso campo tem um denominador 1 + y , portanto não podemos ter nenhum ponto com y = - 1 nem com y < - 1 pois teríamos uma raiz negativa. Logo, nosso domínio mínimo é x , y , z R   y > - 1 }

Bom, se o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial, não é?

Pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

γ   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva γ é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Vamos calcular f então, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Temos então o seguinte:

3 x 2 + 2 1 + y , x 1 + y + y 3 .   = f x ,   f y

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = 3 x 2 + 2 1 + y f x , y = x 3 + 2 x 1 + y + M ( y )

f y = x 1 + y + y 3   f x , y = 2 x 1 + y + y 4 4 + P ( x )

Comparando as equações, vemos que:

M y = y 4 4

P x = x 3

O que nos dá

f x , y = 2 x 1 + y + x 3 + y 4 4 + k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o problema define a curva assim:

γ t = 4 t 2 + t 2 + 9 ,   3 t 2 - 1 ,   t [ - 1,1 ]

O ponto A corresponde a t = - 1 , que nos dá

A = ( 3 ,   1 )

Para B , temos t = 1 :

B = 5,1

Passo 3

Agora é só calcular f ( A ) e f ( B ) :

f x , y = 2 x 1 + y + x 3 + y 4 4 + k

f 3,1 = 27 + 6 2 + 1 4 + k

f 5,1 = 125 + 10 2 + 1 4 + k

Logo,

γ   F . d r = f B - f ( A )

γ   F . d r = 125 + 10 2 + 1 4 + k - 27 - 6 2 - 1 4 - k

= 98 + 4 2

Resposta

98 + 4 2

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