Considerar a seguinte integral de linha

∫ ( 2,2 , 2 ) ( 3,3 , 3 ) 2 x y z + 1 + e x d x + x 2 z + 1 d y -   x 2 y z + 1 2 d z

1. Mostre que o valor dessa integral é independente do caminho conectando os pontos 2,2 , 2 e 3,3 , 3 no semi-espaço Z = { ( x , y , z ) | z > - 1 ,  

2. Calcule o valor da integral

3. Explique porque não é possível chegar a uma conclusão similar a do item 1 para a integral

∫ ( 2,2 , - 2 ) ( 3,3 , 3 ) 2 x y z + 1 + e x d x + x 2 z + 1 d y -   x 2 y z + 1 2 d z

Passo 1

1) Existe singularidade em todo o plano Z = - 1 , pois anula o denominador. Porém para essa questão, estamos considerando apenas o semiespaço Z   onde z > - 1 , o que indica que para esse caso, o campo é simplesmente conexo (atenção para essa denominação!!!).

É possível verificar ainda que o rotacional desse campo é 0.

Dessa forma temos que o campo é conservativo e independe do caminho em Z .

Passo 2

2) A melhor forma de calcular essa integral é encontrar uma função potencial f associado ao campo

F   → = 2 x y z + 1 + e x , x 2 z + 1 , -   x 2 y z + 1 2

∂ f ∂ x = F 1 = 2 x y z + 1 + e x →   f = x 2 y z + 1 + e x + A y , z

∂ f ∂ y = F 2 = x 2 z + 1 →   f = x 2 y z + 1 + B ( x , z )

∂ f ∂ z = F 3 = -   x 2 y z + 1 2 →   f = x 2 y z + 1 + C ( x , y )

Dessas três equações podemos ver que f será então:

f = x 2 y z + 1 + e x

A integral agora fica fácil de calcular, é só pegar o potencial no ponto final menos o potencial no ponto inicial:

f 3,3 , 3 - f 2,2 , 2 = ( 3 2 ) . 3 3 + 1 + e 3 - ( 2 2 ) . 2 2 + 1 + e 2

f 3,3 , 3 - f 2,2 , 2 = 27 4 + e 3 - 8 3 - e 2

Passo 3

3) Nesse caso, qualquer caminho que utilizemos para ligar o ponto 2,2 , - 2 ao ponto ( 3,3 , 3 ) passa pelo plano z = - 1 , assim o campo deixa de ser simplesmente conexo, não é mais conservativo e agora depende do caminho.

Resposta

1) Explicação no passo a passo.

2) 27 4 + e 3 - 8 3 - e 2

3) Explicação no passo a passo.

Exercícios de Livros Relacionados

6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2