Dada F → x , y = ( 1 + y e x y ,   2 y + x e x y )

  1. Ache uma função f tal que F → = ∇ → f

Passo 1

Oi, tudo bem?

Como essa é uma continuação, vou recapitular aqui: no primeiro item verificamos que esse campo é conservativo, assim podemos escrever

F → = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

O que nos levou a essa igualdade

1 + y e x y ,   2 y + x e x y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Então temos duas equações para essa f ( x , y ) :

∂ f ∂ x = 1 + y e x y

∂ f ∂ y =   2 y + x e x y

Agora nesse segundo item o problema pede para acharmos essa f ! A ideia aqui é integrar uma das equações. Mas como temos a derivada parcial, podemos estar perdendo alguma parte que dependa só da outra variável, aí com a ajuda da segunda equação vamos achar toda função escalar f !

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Pegando a parcial em x :

∂ f ∂ x = 1 + y e x y

Vamos integrar dos dois lados, assim vamos achar quem é nossa f :

f = ∫ ( 1 + y e x y ) d x = x + e x y + g ( y )

Para integrar aquele y e x y usei substituição simples, fazendo u = x y ,   d u = y   d x , ok?

g ( y ) ?

Ela representa a ‘constante de integração’, isso porque integramos uma coisa que era a derivada parcial em x , isso significa que qualquer função que dependa de y ficou escondida!

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos derivar a função que encontramos f ( x , y ) em relação a y , e comparar com a segunda equação (aquela do passo 1, lembra?) Assim podemos identificar o que ficou “perdido”.

Do passo anterior

f = x + e x y + g ( y )

Derivando em y :

∂ f ∂ y = x e x y + g ' ( y )

E comparar com a segunda equação do passo 1, essa aqui:

∂ f ∂ y =   2 y + x e x y

Daí comparando temos:

x e x y + g ' y = 2 y + x e x y

g ' y = 2 y

E integrando temos:

g y = y 2

Viu como tínhamos perdido uma parte só em y!

Agora nossa f ficou completa:

f = x + e x y + y 2

Ufa! Terminamos!

Até próxima!

Resposta

f = x + e x y + y 2

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