Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G3 - 2014.1, Questão 1b

Diga se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa. Justifique.

Existe um campo escalar f : R 3 R de classe C tal que, para todo x , y , z R 3 se tem que

f x , y , z = 2 z , z 2 + 2 y , 2 x + y z

Passo 1

Vamos falar que esse campo de função que ele deu é F

F x , y , z = 2 z , z 2 + 2 y , 2 x + y z

Ele quer uma função f onde o gradiente seja esse campo de vetores que ele deu, mas isso é dizer que

f = F

Isso vai acontecer quando esse campo vetorial for um campo conservativo, isso acontece quando o rotacional for 0 , vamos achar o rotacional de F

r o t F = i j k x y z 2 z z 2 + 2 y 2 x + y z

r o t F = z i + 2 j + 0 k - 0 k - 2 j - 2 z i

r o t F = - z i

Esse rotacional não deu 0 , então não é um campo conservativo e não existe a função f .

Logo a afirmação é falsa.

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Resposta

Falsa

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