Dada F → x , y = ( 1 + y e x y ,   2 y + x e x y )

  1. Usando o item anterior, determine o trabalho realizado pelo campo vetorial F → ao mover uma partícula sobre a hipérbole

x 2 - y 2 = 1 ,

Desde o ponto ( 3 , - 8 ) até ( 3 , 8 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa é uma continuação, então vou recapitular o que foi feito nos itens anteriores:

  • Verificamos que F → é conservativo: isso nos indica que tem uma função escalar associada a esse campo, de forma que F → = ∇ → f
  • Mais do que isso: encontramos que cara tem essa função f :

f = x + e x y + y 2

E agora o problema nos pede para usar esse último resultado (a função escalar f ) para calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial ao mover uma partícula ao longo de uma hipérbole

Lembra o que disse sobre o campo ser conservativo? Então, para resolver esse último item precisamos calcular o trabalho em um campo conservativo!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O campo ser conservativo me indica que não importa o caminho feito, o trabalho realizado sobre um corpo (e consequentemente pelo campo) depende apenas dos pontos inicial e final:

W = ∫ F → ⋅ d r → = f P f - f ( P i )

E quem é aquela função ali f ? É a função escalar que encontramos!

quando um campo vetorial é conservativo, ele pode ser escrito na forma de um gradiente de uma função escalar, chamamos de potencial. E o trabalho realizado nesse campo depende apenas do potencial aplicado nos pontos inicial e final

então vamos calcular o trabalho usando o potencial que encontramos e os pontos dados:

Os pontos são: de P i = ( 3 , - 8 ) até P f = ( 3 , 8 ) , e o potencial (a função f ) que encontramos é

f = x + e x y + y 2

Agora é só substituir:

W = f P f - f ( P i )

W = 3 + e 3 8 + 8 - ( 3 + e - 3 8 + 8 )

W = e 3 8 - 1 e 3 8

E é isso! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

W = e 3 8 - 1 e 3 8

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