Mostre que os valores da integral

∫ A B z 2 d x + 2 y   d y + 2 x z   d z

Não depende do caminho tomado de A a B.

Passo 1

Como vimos na teoria, a independência do caminho é uma propriedade dos campos conservativos, pois para campos conservativos, com função potencial f :

∫ A B F → ∙ d r = f B - f ( A )

Ou seja, o valor da integral só depende dos pontos final e inicial da curva, como foi pedido na questão.

Então só precisamos verificar se o campo é mesmo conservativo!

Passo 2

Temos o campo:

F → = F 1 , F 2 , F 3 = z 2 , 2 y , 2 x z

Vamos lembrar que campos conservativos devem ser irrotacionais, então vamos testar essa condição:

r o t   F → = ∇ × F → = i → j → k → ∂ x ∂ y ∂ z F 1 F 2 F 3

= ∂ 2 x z ∂ y - ∂ 2 y ∂ z i → + ∂ z 2 ∂ z - ∂ 2 x z ∂ x j → + ∂ 2 y ∂ x - ∂ z 2 ∂ y k →

= 0 →

E como o campo está definido para todo o R 3 , nós vimos que essa condição é o suficiente para sabermos que o campo F → é conservativo.

Pronto! F → conservativo implica que a integral de linha não depende do caminho.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2