Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 32

32) Seja C qualquer curva unindo qualquer ponto na circunferência x 2 + y 2 = a 2 a qualquer ponto na circunferência x 2 + y 2 = b 2 , b > a > 0 . Seja F x ,   y = 3 x 2 + y 2 1 2 x ,   y . Mostre que C   F d r tem sempre o valor b 3 - a 3 .

Passo 1

Então, resolver uma integral de linha no caso vetorial, existem, agora, três formas de resolvê-la:

1º - Forma direta.

2º - Teorema de Green.

3º - Com funções potenciais.

Aqui não precisa de muito para falar que o caminho que vamos utilizar para resolver essa integral é o 3 º mesmo, pois sabemos que uma integral sempre terá um mesmo resultado não dependendo do caminho quando existe a função potencial f , sacou?

Então vamos procurar essa função potencial!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela definição de função potencial f , essa função é tal que:

F = f

Como o gradiente de f é:

f = f x ,   f y  

F = f x ,   f y

3 x x 2 + y 2 1 2 ,   3 y x 2 + y 2 1 2 = f x ,   f y

Onde tiramos duas igualdades:

3 x x 2 + y 2 1 2 = f x                                 1 º

3 y x 2 + y 2 1 2 = f y                                                                 2 º

Passo 3

Com a primeira igualdade calculemos uma integral “revertendo” a derivada e voltando para a função f ...

f = 3 x x 2 + y 2 1 2     d x + G y

Porém repare que apareceu uma função que depende somente de y ali, pois caso derivemos novamente essa função em relação à x , ela desaparece por ser considerado uma “constante” perante x , logo... Na integral ela reaparece, sacou?

Calculando essa integral com relação à x , portanto, tomando y como uma constante, faça uma mudança...

x 2 + y 2 = u           d u = 2 x   d x                   x d x = d u 2

f = 3 x 2 + y 2 1 2     x d x + G y

f = 3 u 1 2 d u 2 + G y

f = 3 u 1 2 d u 2 + G y

f = 3 2 u 1 2     d u + G y

f = 3 2 2 3 u 3 2 + G y

f = x 2 + y 2 3 2 + G y

Passo 4

Basicamente essa é a função potencial, porém, como você pode ver, ainda falta uma coisa a descobrir, a função G y . Façamos isso utilizando a segunda igualdade... 3 y x 2 + y 2 1 2 = f y

Derivando a função f que determinamos em relação à y então...

f = x 2 + y 2 3 2 + G y                     f y = y x 2 + y 2 3 2 + G y y

Esse segundo termo de derivada é uma derivada simples, pois G só depende de y ...

            f y = y x 2 + y 2 3 2 + G ' y  

Derivando...

f x = 3 2 x 2 + y 2 1 2 2 y + G ' y  

f x = 3 y x 2 + y 2 1 2 + G ' y  

E agora comparando com a igualdade número 2 ...

3 y x 2 + y 2 1 2 = 3 y x 2 + y 2 1 2 + G ' y

G ' y = 0

Logo... A única forma dessa derivada zerar é se a função for uma constante...

G y = k

Então a função potencial finalmente é

f = x 2 + y 2 3 2 + G y

f = x 2 + y 2 3 2 + k

Passo 5

Para matar a charada, antes apenas lembre que com uma função potencial f em mãos, calculamos uma integral de linha muito fácil tendo apenas o ponto inicial A e o ponto final B , pois...

C   F d r = f B - f A

Então...

Se o ponto A está em qualquer ponto da circunferência de raio a e o B na circunferência maior...

f B = x 2 + y 2 3 2 + k                 f B = b 2 3 2 + k    

f B = b 3 + k

f A = x 2 + y 2 3 2 + k                 f A = a 2 3 2 + k    

f A = a 3 + k

C   F d r = f B - f A =

b 3 + k - a 3 + k =

b 3 - a 3

Resposta

Prova-se utilizando funções potenciais: b 3 - a 3

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