Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

(a)Qual é a soma dos quatro vetores a seguir em termos de vetores unitários? (b) Para essa soma, quais são (b) o módulo, (c) o ângulo em graus, e (d) o ângulo em radianos?

E → : 6,00   m   e + 0,900   r a d F → : 5,00   m   e - 75,0 ° G → : 4,00   m   e + 1,20   r a d H → : 6,00   m   e - 210 °

Passo 1

Para resolver este tipo de problema é preciso lembrar que para somar dois vetores podemos obter as componentes escalares dos vetores e, em seguida, combiná-las, eixo por eixo, com isso obtemos as componentes do vetor soma e escrevendo as componentes usando a notação de vetores unitários podemos escrever o vetor resultante da soma. Logo:

r → = a → + b → = a x + b x i ^ + a y + b y j ^

Para isso, precisamos lembrar que, dado o módulo do vetor ( ‖ r → ‖ ) e o ângulo que este faz com o semieixo x positivo ( θ ), podemos escrever suas componentes da seguinte maneira:

r x = r cos ⁡ θ

r y = r sin ⁡ θ

E o módulo de um vetor r → é dado por:

r = r x 2 + r y 2 + r z 2

E o ângulo medido em relação ao semieixo x positivo é dado por:

θ = tan - 1 ⁡ r y r x

Neste problema nós conhecemos o módulo de quatro vetores ( E → = 6,00   m , F → = 5,00   m , G → = 4,00   m e H → = 6,00   m ) e os respectivos ângulos ( θ E = + 0,900   r a d = 51,57 o , θ F = - 75,0 ° , θ G = + 1,200   r a d = 68,75 o e θ H = - 210 ° ) e precisamos determinar o vetor resultante da soma dos quatro vetores r → em termos dos vetores unitários, o módulo do vetor soma e o ângulo em radianos e em graus que este vetor faz com o semieixo x positivo.

Passo 2

  1. Para determinar as componentes escalares do vetor E → utilizaremos as equações explicitas acima, assim:
  2. E x = 6 cos ⁡ ( 5 1,57 ° ) = 3,73   m

    E y = 6 sin ⁡ ( 5 1,57 ° ) = 4,70   m

    Para determinar as componentes escalares do vetor F → , G → e H → faremos de maneira análoga:

    F x = 5 cos ⁡ ( - 75 ° ) = 1,29   m

    F y = 5 sin ⁡ ( - 75 ° ) = - 4,83   m

    G x = 4 cos ⁡ ( 68,75 ° ) = 1,45   m

    G y = 4 sin ⁡ ( 68,75 ° ) = 3,73   m

    H x = 6 cos ⁡ - 210 ° = - 5,20   m

    H y = 6 sin ⁡ ( - 210 ° ) = 3,00   m

    Passo 3

    Escrevendo a soma vetorial dos quatro vetores:

    r → = E → + F → + G → + H →

    r → = 3,73 i ^ + 4,70 j ^ + 1,29 i ^ - 4,83 j ^ + 1,45 i ^ + 3,73 j ^ + - 5,20 i ^ + 3,00 j ^

    Agora, somamos as componentes eixo por eixo:

    r x = 3,73 + 1,29 + 1,45 - 5,20 = 1,27   m

    r y = 4,70 - 4,83 + 3,73 + 3,00 = 6,60   m

    Portanto, podemos fazer a combinação dessas componentes de r → para escrever o vetor em termos dos vetores unitários:

    r → = r x i ^ + r y j ^ = 1,27 i ^ + 6,60 j ^   m

    Passo 4

  3. Vamos aplicar a definição de módulo explicitada no passo inicial para determinar o módulo do vetor soma:
  4. r = r x 2 + r y 2 = 1,27 2 + 6,60 2 = 6,72   m

    Passo 5

  5. Para determinar o ângulo que o vetor r → faz com o semieixo x positivo fazemos:

θ r = tan - 1 ⁡ r y r x = tan - 1 ⁡ 6,60 1,27 = 79,11 °   o u   259,11 °

Devemos tomar cuidado quando utilizando a função tan - 1 ⁡ x na calculadora, pois dois ângulos θ e θ + 180 ° possuem o valor. Assim, precisamos determinar em qual quadrante o nosso vetor está a partir da análise do sinal das componentes.

Como nosso vetor r → possui a componente x e a componente y positivas, então este só pode estar no primeiro quadrante, pois é o único cujo o seno e cosseno são positivos, portanto:

θ r = 79,11 °

Passo 3

Para determinar o ângulo em radianos, multiplicaremos o valor do ângulo encontrado em graus pelo fator de conversão que é:

f = π 180 °

Assim:

θ r = 79,11 ° × f = 79,11 ° × π 180 ° = 1,381   r a d

Resposta

  1. r → = 1,27 i ^ + 6,60 j ^   m ;
  2. r = 6,72   m ;
  3. θ r = 79,11 ° ;
  4. θ r = 1,381   r a d .

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