Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

Um paciente em terapia tem um antebraço que pesa 20,5   N   e que levanta um peso de 112,0   N . Essas duas forças têm direção verticalmente para baixo. As únicas outras forças significativas em seu antebraço vêm do músculo bíceps (que age perpendicularmente ao antebraço) e da força no cotovelo. Se o bíceps produz um impulso de 232   N quando o antebraço é levantado 43 ° acima da horizontal, encontre a magnitude e direção da força que o cotovelo exerce no antebraço (A soma da força do cotovelo e da força do bíceps deve equilibrar o peso do braço e o peso que este está carregando, portanto, sua soma vetorial deve ser de 132,5   N , para cima.)

Passo 1

Olá pessoal, como vai a vida? Espero que esteja bem! Vamos pra mais uma questão??

Temos que um paciente cujo o seu antebraço pesa 20,5   N levanta um peso de 112,0   N .

Além dessas duas forças temos que levar em consideração a força do bíceps que quando o antebraço se encontra no ângulo de 43 ° essa passa a ter valor de 232   N e a força que o cotovelo exerce.

Então com essas informações devemos encontrar justamente a magnitude e a direção dessa força exercida pelo cotovelo.

Em síntese temos o seguinte esquema:

Qual é o jeito menos assustador de começar essa questão? hahaha

Na verdade vai ser bem tranquilo, bora lá!

Passo 2

Vamos começar decompondo as forças em relação ao eixo x:

Lembrando que decompor aqui significa projetar as forças em relação a cada eixo, por isso algumas relações trigonométricas serão importantes!

Quais são as forças que possuem componentes horizontais???

Boa, só são duas!!! São elas a força do bíceps e a força do cotovelo. Assim,

B x =   - 232 ⋅ s e n ( 43 ° )

B x =   -   158,2   N

O sinal de " - " se dá pelo fato da componente B x apontar para o lado negativo do eixo x.

Uma vez que o sistema só possui essas duas forças na horizontal e que tem que estar em equilíbrio:

B x +   C x = 0

  C x =   - B X

C x =   - ( - 158,2   N )

C x = 158,2   N

Passo 3

Agoraaaa vamos decompor as forças em relação ao eixo y:

B y   =   232 ⋅ c o s ( 43   ° )

Como as componentes B y e C y devem no mínimo equilibrar a soma das forças do peso do antebraço juntamente com o peso do equipamento. Podemos concluir que

B y +   C y =   P y

B y +   C y =   20,5 +   112

B y +   C y =   132,5

232 ⋅ c o s ( 43   ° ) +   C y =   132,5

  C y =   132,5 - 169,7

  C y =   - 37,2   N

Obaaa, já temos as duas componentes de C !!!

Para encontrar a magnitude basta utilizarmos o Teorema de Pitágoras já que o vetor e suas componentes formam um triângulo retângulo.

C = C x 2 + C y 2  

C = ( 158,2 ) ² + ( - 37,2 ) ²

C = 162,5   N

Passo 4

E por fim, agora precisamos só encontrar a direção da força que o cotovelo exerce.

E dá pra fazer isso?? Como??

Não é tãooo complicado, basta utilizarmos a tangente do ângulo que queremos encontrar.

t g   β = C y C x

t g   β = - 37,2 158,2

t g   β =   - 0,24

Encontramos o valor da tangente mas queríamos mesmo era o valor do ângulo e agora??? Chorar não é uma opção hahaha.

Vamos utilizar a função arco-tangente que ela rapidinho resolve o nosso problema.

  β = a r c t g ( - 0,24 )

β =   - 13,5 ° em relação ao eixo 0x

Prontinhoooo, conseguimos!

Bora continuar treinando que o 10 vem!

Resposta

Magnitude : C = 162,5   N

Direção: β =   - 13,5 ° em relação ao eixo 0x

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