Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

3. Calcule o gradiente ∇ f das seguintes funções:

(b) f x , y , z = x 2 y 3 z 4

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão foi dado uma função f x , y , z e apenas temos que obter o gradiente dessa função.

De boa? 👀

Pra calcular o gradiente de uma função, temos que lembrar dos conceitos de derivadas parciais de uma função.

O gradiente de uma função nada mais é que a soma das derivadas parciais dessa função, ou seja

∇ f = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se f x , y , z = x 2 y 3 z 4 , derivando f parcialmente com relação a x , as variáveis y e z se comportam como uma constante...

∂ f ∂ x = ∂ x 2 y 3 z 4 ∂ x = 2 x y 3 z 4

A mesma coisa com relação a y e z , veja só

∂ f ∂ y = ∂ x 2 y 3 z 4 ∂ y = 3 x 2 y 2 z 4

∂ f ∂ z = ∂ x 2 y 3 z 4 ∂ z = 4 x 2 y 3 z 3

Substituindo no gradiente de f , temos

∇ f = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z

∇ f = 2 x y 3 z 4 + 3 x 2 y 2 z 4 + 4 x 2 y 3 z 3

∇ f = x y 2 z 3 2 y z + 3 x z + 4 x y

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∇ f = x y 2 z 3 2 y z + 3 x z + 4 x y

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