Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 32 – 1.71- Modificado.

Você deseja programar o movimento do braço de um robô em uma linha de montagem para se mover no plano x y . Seu primeiro deslocamento é A → ; seu segundo deslocamento é B → , cujo módulo é igual a 6,40 c m , formando um ângulo de 63,0 ° , medido considerando-se uma rotação do eixo + O x para o eixo - O y . A resultante C → = A → + B →   dos dois deslocamentos deve também possuir módulo igual a 6,40 c m , porém formando um ângulo de 22,0 ° , medido considerando-se uma rotação de eixo + O x para o eixo + O y .

  1. Desenhe um diagrama para escala aproximada para estes vetores.
  2. Ache os componentes de A →
  3. Ache o módulo e a direção de A →

Dados:

s e n   22 ° = 0,374 cos ⁡ 22 ° = 0,927 s e n 63 º = 0,891 cos ⁡ 63 º = 0,453

Passo 1

Bom, sabemos que a partir de módulo de um vetor e do seu ângulo conseguimos todas as informações das componentes dele, certo? Foi dado no problema:

C → = A → + B →

C → = 6,40 c m θ C = 22 °

B → = 6,40 c m θ B = 297 °

Assim podemos decompor cada vetore e analisar suas componentes. Vamos fazer o movimento do robô?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Alternativa a)

Pra fazer esse diagrama vamos fazer primeiro o vetor C → e depois o vetor B → ,   que são os vetores que nós conhecemos. Vamos usar o método geométrico.

Passo 3

Alternativa b)

Decompondo o vetor C → .

C → x = 6,4 . cos ⁡ 22 º

C → y = 6,4 . s e n 22 °

Substituindo os valores temos:

C → x = 5,93 c m

C → y = 2,39 c m

C → = ( 5,93 c m i ^ + 2,39 c m j ^ )

Passo 4

Decompondo o vetor B → .

B x = 6,4 . cos ⁡ 297 º = 6,4 cos ⁡ 63 º

B y = 6,4 . s e n 297 ° = - 6,4 s e n 63 º

Substituindo os valores temos:

B x = 2,90 c m

B y = - 5,70 c m

B → = ( 2,9 c m i ^ - 5,7 c m j ^ )

Passo 5

Assim, substituindo na equação os valores das componentes do vetor C →   e   B → , temos:

C → = A → + B →

5,93 c m i ^ + 2,39 c m j ^ = α i ^ + β j ^ + ( 2,9 c m i ^ - 5,7 c m j ^ )

Analisando cada componente separadamente temos:

a = 5,93 c m - 2,9 c m

β = 2,39 c m + 5,7 c m

Assim:

A → = ( 3,03 c m i ^ + 8,09 c m j ^ )

Passo 6

Alternativa c)

Para achar o módulo de A → vamos usar aquela fórmula das componentes, se lembra?

A → 2 = A x 2 + A y 2

A → = ( 3,03 c m i + 8,09 c m j )

Substituindo os valores temos:

A → 2 = 3,03 2 + 8,09 2

A → = 8,64 c m

Passo 7

Para achar o ângulo, só pela componentes já da pra saber que ele está no primeiro quadrante.

Tirou isso da onde ???????

As duas componentes são positivas, ou seja, o seno e o cosseno do ângulo do vetor A → são positivos.

Agora vamos usar as componentes para achar o ângulo:

t g   θ A = A y A x

t g θ A = 8,09 3,03 = 2,66

Fazendo o cálculo desse ângulo pela calculadora, vamos ter que:

θ A = 70 °

Resposta

  1. A → = ( 3,03 c m i + 8,09 c m j )
  2. A → = 8,64 c m

θ A = 70 °

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