Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

Se d 1 →   =   3 i →   - 2 j →   + 4 k → e d 2 →   =   - 5 i →   + 2 j →   – k → , determine d 1 → +   d 2 → . ( d 1 → ×   4 d 2 → ) .

Passo 1

Esse problema a gente pode resolver de duas maneiras... Ou a gente abre aqueles produtos todos lá e vê o que dá (isso vai dar um trabalhão) ou a gente tenta entender um pouco mais daquele produto e vemos se podemos usar alguma propriedade para ajudar nas contas. Vamos tentar esse último caminho?

A primeira coisa que podemos fazer é reescrever aquele último produto vetorial usando a propriedade: a → × λ b → = λ ( a → × b → )

Dessa forma, temos:

d 1 → ×   4 d 2 → = 4 . ( d 1 → ×   d 2 → )

O produto que a gente precisa calcular fica então:

d 1 → +   d 2 → . d 1 → ×   4 d 2 → =   d 1 → +   d 2 → ⋅ 4 ( d 1 → ×   d 2 → )

Ou melhor:

4 d 1 → +   d 2 → ⋅ ( d 1 → ×   d 2 → )

Vamos entender agora o que se passa no produto escalar entre d 1 → +   d 2 →   com ( d 1 → ×   d 2 → )

Passo 2

Bom, sabemos que o produto vetorial ( d 1 → ×   d 2 → ) vai gerar um vetor que é perpendicular ao plano onde vivem d 1 → e d 2 → . Vamos chamar esse resultado como o vetor D → ⊥ .

Agora, também sabemos (pela regra do paralelogramo) que o vetor que é resultado da soma d 1 → +   d 2 →   é um vetor que pertence onde vivem d 1 → e d 2 → . Essa soma eu vou representar como D ∥ → . Isso nos leva que o vetor que é resultado da soma é perpendicular ao vetor que é resultado do produto vetorial.

Ora, se o que a gente precisa calcular é o produto escalar

D ∥ → ⋅   D ⊥ →

Que acabamos de perceber que eles são perpendiculares entre si. Como o produto escalar entre vetores perpendiculares entre si é nulo, concluímos que

d 1 → +   d 2 → . d 1 → ×   4 d 2 → =   0

Resposta

d 1 → +   d 2 → . d 1 → ×   4 d 2 → =   0

De boa galera ??? Bora fazer mais exercícios então !!!!!

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