Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

Encontre a magnitude e a direção do vetor que é a soma dos três vetores A   ⃗   ,   B   ⃗   e   C   ⃗ na figura abaixo. Em uma diagrama, mostre como R   ⃗ é formado a partir desses três vetores.

Passo 1

Oiiiii pexuallllll! Tudo tranquilo?

Temos que encontrar o vetor resultante R   ⃗ que representa a soma dos vetores A   ⃗ ,   B   ⃗   e   C   ⃗ e em seguida devemos representar como esse vetor é formado a partir dos outros 3 vetores. Vocês tem alguma ideia de como podemos começar essa questão?

Acho válido começamos decompondo cada um dos vetores…

Lembrando que a tarefa de decompor vetores é o fato de projetar aquele determinado vetor sobre o eixo cartesiano e por isso se faz o uso das relações trigonométricas fundamentais.

Assim, vamos começar decompondo os vetores em relação ao eixo x:

R x   =   A x   +   B x   +   C x

Detalhe, observem que o vetor A   ⃗ está totalmente sobre o eixo y não tendo assim componente sobre o eixo x. E além disso, lembrem se a componente apontar para os eixos negativos o sinal de " - " terá de ser acrescentado.

R x     =   0 + B   s e n 30 ° -   C   c o s 25 °  

R x     =   15 ( 0,5 ) -   12 ( 0,90 )  

R x     =   - 3,3   m

Passo 2

Agora faremos a decomposição para o eixo y:

R y   =   A y   +   B y   +   C y

R y     =     - 8 + B   c o s   30 ° -   C   s e n   25 °  

R y     =   - 8 + 15 ( 0,86 ) -   12 ( 0,42 )  

R y     =   - 0,14   m

Passo 3

Como já encontramos as componentes de R   ⃗ agora para achar de fato a sua magnitude basta aplicarmos o teorema de Pitágoras, já que as componentes de um vetor formam com o mesmo um triângulo retângulo.

R   =   R x ²   +   R y ²

R   =   (   - 3,3   m ) ²   + ( - 0,14   m )   ²

R   = 3,30   m

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Agoraaaaa só falta encontrar a direção, ou melhor o ângulo ( θ ) , em que esse vetor se encontra em relação a vertical.

Podemos fazer isso utilizando a função tangente já que nos passos anteriores encontramos as componentes e vimos que essas formam um triângulo entre si.

t g ( θ )   =     R y   R x  

t g ( θ )   =     - 0,14   m - 3,3   m

t g ( θ )   =     0,042

Mas estamos interessados no ângulo em si e não na sua tangente, assim, vamos utilizar a função arco-tangente para resolver esse abacaxi.

θ   =   a r c t g ( 0,042 )

θ = 2,40 °   em relação ao eixo -y

Já acabou Jéssica?

Nãoooo, ainda falta fazer o diagrama incluído a resultante R .

Passo 7

Bora lá! Vamos representar todas as componentes dos vetores que geram o vetor R   ⃗ .

Para evitar poluição visual foi as componentes do vetor B   ⃗ na cor vermelha e as componentes de C   ⃗ na cor preto.

Após fazer-se a soma dos vetores que apontam no mesmo sentido e a subtração dos que apontam em sentidos contrários eis que surgem as componentes do vetor R   ⃗ representadas na cor verde. É notável que o desenho corrobora com os nossos cálculos já que o ângulo que o vetor faz com a vertical é bem pequeno.

Resposta

θ = 2,40 °   em relação ao eixo -y

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