Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

2. Encontre o ângulo entre as diagonais das faces de um cubo com arestas de tamanho 1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos dois vetores que saem da origem do sistema e apontam para dois vértices de um cubo de lado 1 como vemos na figura. Dessa forma, queremos obter o ângulo entre esses dois vetores.

E aí, já sabe o que fazer? 😉

Podemos definir um vetor como P → = P f - P i , ou seja, a posição final menos a posição inicial.

Para A , o ponto final é 1,0 , 1 e o ponto inicial é 0,0 , 0 , logo, o vetor A é dado por

A → = 1,0 , 1

Para B , o ponto final é 0,1 , 1 e o ponto inicial 0,0 , 0 , então

B → = 0,1 , 1

Pra resolver esse problema podemos usar o produto interno entre esses dois vetores.

O produto interno entre dois vetores pode ser calculado como

A → · B → = A x B x + A y B y + A z B z

E também como

A → · B → = A → B → cos ⁡ θ

Entendeu? 😉

Passo 2

Assim se igualarmos as duas equações, vamos obter

A x B x + A y B y + A z B z = A → B → cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = A x B x + A y B y + A z B z A → B →

Sacou? 😁

Vamos começar obtendo os módulos de A → e B → ...

A → = A x 2 + A y 2 + A z 2

Como A → = 1,0 , 1 , então

A → = 1 2 + 0 2 + 1 2

a → = 2

Agora para B →

B → = B x 2 + B y 2 + B z 2

Se B → = 0,1 , 1 ...

B → = 0 2 + 1 2 + 1 2

B → = 2

Bacana, não é? 😎

Passo 3

Substituindo essas informações na equação do cos ⁡ θ ...

cos ⁡ θ = A x B x + A y B y + A z B z A → B →

cos ⁡ θ = 1 · 0 + 0 · 1 + 1 · 1 2 · 2

cos ⁡ θ = 1 2

Portanto, o ângulo será

θ = cos - 1 ⁡ 1 2

θ = 60 °

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

θ = 60 °

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