Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

(Capítulo 3.6 – Exercício 11) Para os vetores a → = 3,0   m i ^ + ( 4,0   m ) j ^ e b → = 5,0   m i ^ + ( - 2,0   m ) j ^ , determine a → + b → (a) em termos de vetores unitários e em termos (b) do módulo e (c) do ângulo (em relação a i ^ ). Determine b → - a → (d) em termos de vetores unitários e em termos (e) do módulo e (f) do ângulo.

Passo 1

Vamossss pra mais uma de vetores, beleza?

Vamos iniciar esta questão fazendo o somatório vetorial direto, pois o problema já nos deu os vetores em notação de componentes. Para isso, faremos:

a → + b → = r → = a x + b x i ^ + a y + b y j ^

Em seguida, com o vetor resultando escrito em função das componentes, vamos aplicar a definição de módulo de vetor:

r → = r x 2 + r y 2

E, por fim, usaremos a trigonometria para determinar o ângulo que o r → faz com o semieixo x positivo, bora!

Passo 2

a) Com os valores das componentes dos vetores dados, podemos fazer o somatório vetorial definido no passo anterior:

a → + b → = r → = a x + b x i ^ + a y + b y j ^

Substituindo os valores:

r → = 3,0 + 5,0 i ^ + 4,0 + - 2,0 j ^

r → = 8,0 i ^ + 2,0 j ^

Passo 3

b) Agora, aplicando a definição do módulo de vetor, também anunciado no passo 1 :

r → = 8,0 2 + 2,0 2

r = 8,25   m

Passo 4

c) Para determinar o ângulo que o vetor r → faz com semieixo positivo x vamos representa-lo no plano cartesiano e vamos definir um triângulo retângulo formado com as componentes e o vetor principal:

Então, aplicando a definição de cosseno:

cos ⁡ θ = r x r

Substituindo os valores:

cos ⁡ θ = 8,00 8,25

Isolando o θ :

θ = arccos ⁡ 8,00 8,25 = 14,14 °

Passo 5

d) Agora, com os valores das componentes dos vetores dados, podemos fazer o somatório vetorial definido no passo inicial:

b → - a → = r 2 → = b x - a x i ^ + b y - a y j ^

Substituindo os valores:

r → 2 = 5,0 - 3,0 i ^ + - 2,0 - 4,0 j ^

r 2 → = 2,0 i ^ - 6,0 j ^

Passo 6

e) Agora, aplicando a definição do módulo de vetor, também anunciado no passo 1 :

r 2 → = 2,0 2 + ( - 6,0 ) 2

r 2 = 6,32   m

Passo 7

f) Para determinar o ângulo que o vetor r 2 → faz com semieixo positivo x vamos fazer de maneira análoga ao que fizemos no passo 4 :

Então, aplicando a definição de cosseno:

cos ⁡ θ 2 = r 2 x r 2

Substituindo os valores:

cos ⁡ θ 2 = 2,00 6,32

Isolando o θ :

θ = arccos ⁡ 2,00 6,32 = 71,55 °

Resposta

  1. r → = 8,0 i ^ + 2,0 j ^ m ;
  2. r = 8,25   m ;
  3. θ = 14,14 ° ;
  4. r → 2 = 2,00 i ^ - 6,00 j ^   m ;
  5. r 2 = 6,32   m ;
  6. θ 2 = 71,55 ° .

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