Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

Três vetores são dados por a →   =   3,0 i ^   +   3,0 j ^ - 2,0 k ^ , b → = - 1,0 i ^   - 4,0 j ^   + 2,0 k ^ e c → =   2,0 i ^   + 2,0 j ^ +   1,0 k ^   . Determine (a) a → ⋅   ( b → ×   c → ) , (b) a → ⋅ ( b →   + c → ) e c a → ×   ( b →   + c → )

Passo 1

  1. Então galera, primeiro nós temos que calcular o produto vetorial entre b → e c → . Fazemos isso usando a fórmula:
  2. A → × B → = A y B z - A z B y î + A z B x - A x B z j ^ + A x B y - A y B x k ^

    Dessa forma temos:

    b → × c → =   - 4 . 1 - 2 . ( 2 ) î + 2 . 2 - - 1 . ( 1 ) j ^ + - 1 . 2 - - 4 . ( 2 ) k ^  

    b → × c → =   - 8,0 i ^   +   5,0 j ^ + 6,0 k ^

    Por fim, fazemos o produto escalar entre a → e esse vetor que obtemos multiplicando os termos de mesma componente e somando tudo:

    a → ⋅   ( b → ×   c → ) = 3,0 - 8,0 +   3,0 5,0 +   - 2,0 6,0 =   - 21,0

    Passo 2

  3. Sabendo que para calcular a soma dos vetores, basta somar cada uma de suas componentes
  4. b → + c →   = b x + c x î + b y + c y j ^ + b z + c z k ^ b → + c →   = - 1 + 2 î + - 4 + 2 j ^ + ( 2 + 1 ) k ^ b → + c → = 1,0 i ^ - 2,0 j ^ + 3,0 k ^

     

    Por fim, fazemos o produto escalar entre a → e esse vetor que obtemos multiplicando os termos de mesma componente e somando tudo:

    a → ⋅   b → +   c → = 3,0 1,0 +   3,0 - 2,0 +   - 2,0 3,0 =   - 9,0

    Passo 3

  5. Como já obtemos a soma de b → com c → :

b → + c → = 1,0 i ^ - 2,0 j ^ + 3,0 k ^

Usamos a fórmula do produto vetorial para calcular a → ×   b → +   c →

Ao substituirmos os valores já conhecidos , podemos obter que :

a → ×   b → +   c →   = 3,0 3,0 - - 2,0 - 2,0 i ^ + - 2,0 1,0 - 3,0 3,0 j ^ + 3,0 - 2,0 - 3,0 1,0 k ^   = 5 i ^   - 11 j ^ - 9 k ^

a → ×   b → +   c →   =   5 i ^   - 11 j ^ - 9 k ^

Resposta

  1. a → ⋅   b → ×   c → = - 21
  2. a → ⋅   b → +   c → =   - 9
  3. a → ×   b → +   c →   =   5 i ^   - 11 j ^ - 9 k ^

De boa , galera ??? Então partiu fazer mais exercícios!!!!!!

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