Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

(Capítulo 3.6 – Exercício 11) Uma pessoa deseja chegar a um ponto que está a 3,40   k m de sua localização atual, em uma direção 35,0 ° ao norte do leste. As ruas por onde pode passar são todas na direção norte-sul ou na direção leste-oeste. Qual é a menor distância que a pessoa precisa percorer para chegar ao destino?

Passo 1

E aíí gente, vamos lá ajudar a pessoa a caminhar menos utilizando vetores?? :P

Inicialmente vamos fazer a representação do vetor deslocamento no plano cartesiano. Como a pessoa quer ir em uma direção 35,0 ° ao norte do leste, teremos algo desse tipo:

No plano, representamos a reta que é a menor distância entre dois pontos. Considerando o eixo y positivo apontando para o norte como pedido no problema, o deslocamento não pode ser feito através dessa reta, pois o enunciado pede apenas distâncias verticais e horizontais.

Tá... mas então como encontramos a menor distância dentro das indicações dadas no enunciado?

É o que veremos agora!!!

Passo 2

Chamaremos o vetor ilustrado acima de d .   Como ele é a menor distância, considerando que o enunciado pede apenas distâncias verticais e horizontais, a menor distância nessa modalidade será a soma das componentes desse vetor. Ou seja, iremos decompor o vetor d → :

d x = d × cos ⁡ θ

d y = d × sen ⁡ θ

Substituindo os vetores apresentados no enunciado:

d x = 3,4 × cos ⁡ 35 ° = 2,79   km

d y = 3,4 × sen ⁡ 35 ° = 1,95   km

Passo 3

Beleza! Temos os valores para d x e d y , mas queremos encontrar uma distância total mínima.

E agora?!

Calma, meu pequeno gafanhoto!!

Não importa se essa pessoa for andando totalmente para o Leste e depois para o Norte, ou se ela for ziguezagueando, a distância percorrida vai dar na mesma, afinal, ela só pode caminhar na direção vertical ou horizontal.

Nesses dois movimentos aí em cima, a distância percorrida vai ser a mesma. É como se todas as setas para a direita somadas vão dar igual ao d x e todas as setas para cima somadas vão dar igual ao d y .

Então, para encontrar a distância mínima, basta somarmos esses dois valores:

d m i n = d x + d y

d m i n = 2,79 + 1,95

d m i n = 4,74   km

Ou seja, a menor distância que a pessoa precisa percorrer para chegar ao destino é de 4,74   k m .

Resposta

d m i n = 4,74   km

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