Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

Os três vetores na Fig. 3-33 têm módulos a   =   3,00   m , b   =   4,00   m e   c   =   10,0   m ; θ = 30,0 ° . Determine (a) a componente x e (b) a componente y de a → ; (c) a componente x e (d) a componente y de b →   ; (e) a componente x e (f) a componente y   de c → . Se c → = p a →   + q b → , quais são os valores de (g) p e (h) q ?

Passo 1

Podemos ver na figura que c →   é perpendicular a b → , o que significa que o ângulo entre c → e o semieixo x positivo é θ = 90 ° . Na notação dos vetores unitários, os três vetores são

a → = a x i →

b → = b x i → + b y j → = b cos ⁡ θ i → +   b sen ⁡ θ j →

c → = c x i → +   c y j → = c cos ⁡ θ + 90 ° i → +   c sen ⁡ θ + 90 ° j →

Passo 2

  1. Dessa forma, a componente x de a →   pode ser entendida como
  2. a x = a cos ⁡ 0 ° = a = 3,00   m

  3. O vetor a → não possui componente y , então:
  4. a y = 0

    Passo 3

    A componente y de a →   , por sua vez , é representada por a y = a sen ⁡ o ° = o

    Passo 4

  5. A componente x de b →   , da mesma forma que no primeiro item, pode ser calculada através da relação:
  6. b x = b cos ⁡ 30 ° = 4,00   m cos ⁡ 30 ° = 3,46   m

  7. Já a componente y , calculamos usando
  8. b y = b sen ⁡ 30 ° = 4,00   m   sen ⁡ 30 ° = 2,00   m

    Passo 5

  9. A componente x de c →   é dada por
  10. c x = c cos ⁡ ( 30 ° +   9 0 ° ) = 10   cos ⁡ 120 ° = - 5,00   m

  11. A componente y de c →   é

c y = c sen ⁡ ( 30 ° +   9 0 ° ) = 10   sen ⁡ 120 ° = 8,66   m

Passo 3

Substituindo os valores das componentes temos todos os vetores como: a → = 3 i → + 0 j → b → = 3,46 i → + 2 j → c → = - 5 i → + 8,66 j →

Se devemos ter:

c → = p a →   + q b →

Onde, substituindo os valores temos:

- 5 i → + 8,66 j → = 3 p + 3,46 q i + ( 0 + 2 q ) j

Como na igualdade de dois vetores temos a igualdade de cada componente, montamos o sistema abaixo:

- 5 = 3 p + 3,46 q 8,66 = 2 q

Passo 4

Olhando a última linha obtemos

q = 4,33

Usando esse valor na primeira equação:

- 5 = 3 p + 3,46 × 4,33  

E obtemos

p =   - 6,67  

Resposta

  1. a x = 3 m
  2. a y = 0
  3. b x = 3,46 m
  4. b y = 2 m
  5. c x =   - 5 m
  6. c y = 8,66 m
  7. p =   - 6,67
  8. q = 4,33

De boa , galera ??? Bora fazer mais exercícios então

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