Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 32 – 1.76.

Em um vôo de treinamento, uma aprendiz de piloto voa de Lincoln, no Estado de Nebraska, até Clarinda, no Iowa; a seguir até St. Joseph, no Missouri: depois até Manhattan, no Kansas, como na figurinha abaixo. Os ângulos formados pelos deslocamentos são medidos em relação ao norte: 0 ° significa sentido sul para o norte, 90 °   é o leste, 180 ° é o sul e 270 ° é o oeste. Use o método dos componentes para achar:

  1. A distância que ela terá de voar para voltar para Lincoln
  2. A direção (em relação ao norte) que ela deverá voar para voltar ao ponto de partida. Ilustre a solução fazendo um diagrama vetorial.

Passo 1

Nesse exercício, além de dar aquele rolé pelos Estados Unidos, vamos trabalhar com deslocamentos. Se lembra, laaaaa na teoria, dos carrinhos? Então, como deslocamentos são vetores e no final ele quer voltar para o mesmo ponto, temos que deslocamento total é zero, ou seja, a soma vetorial precisa ser zero.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Alternativa a)

Como o deslocamento total é zero, temos:

A → + B → + C → + D → = 0

Onde:

A → = L i n c o l n → C l a r i n d a

B → = C l a r i n d a → S t .   J o s e p h

C → = S t .   J o s e p h → M a n h a t t a n

D → = M a n h a t t a n → L i n c o l n

Passo 3

Agora vamos analisar componente por componente, começando pela componente para o leste (ou eixo x ).

Para calcular a componente em x do primeiro vetor, temos o seguinte:

Como o ângulo 85 ° se refere ao ângulo que ela faz com o eixo y , temos que a componente em x será o módulo do vetor multiplicado por s e n   85 ° (e não por um cosseno como estamos acostumados)!

Logo, teremos:

A x → + B x → + C x → + D x → = 0

147 k m   s e n 85 ° i ^ + 106 k m   s e n 167 ° i ^   + 166 k m   s e n 235 ° i ^ + D x → = 0

147 k m . 0,9962 i ^ + 106 k m . 0,225 i ^ + 166 k m . - 0,8192 i ^ + D x → = 0

146 k m + 24 k m - 135 k m + D x → = 0

D x → = - 35 k m   i ^

Passo 4

Agora vamos analisar componente por componente, começando pela componente para o norte (ou eixo y ):

A y → + B y → + C y → + D y → = 0

147 k m   c o s 85 ° j ^ + 106 k m   c o s 167 ° j ^ + 166 k m   c o s 235 ° j ^ + D y → = 0

147 k m .   0,0872 j ^ + 106 k m . - 0,9744 j ^ + 166 k m . - 0,5736 j ^ + D y → = 0

13 k m   j ^ - 103 k m   j ^ - 95 k m   j ^ + D y → = 0

D y → = 185 k m   j ^

Passo 5

Para calcular o módulo, vamos usar a fórmula das componentes:

D → = - 35 k m 2 + 185 k m 2

D → = 189 k m

Passo 6

A ângulo do vetor, em relação ao norte, é:

t g   θ D = D → x D → y = - 35 k m 185 k m = - 0,189

θ D = 349 °

Como o s e n o do ângulo é negativo e o c o s s e n o do ângulo é positivo, o ângulo está no quarto quadrante.

Resposta

a) D → = 189 k m

b) θ D = 349 °

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