Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 30 – 1.40.

Determine o módulo, a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares de componentes:

  1. A x =   - 8,60 c m                         A y =   5,20 c m
  2. A x =   - 9,70 m                         A y =   - 2,45 m
  3. A x =   7,75 k m                         A y =   - 2,70 k m

Passo 1

Cada par de vetores vai formar uma resultante A e o módulo dessa resultante é retirado a partir das componentes, é o que faremos para todos os itens, sem mistério.

Para calcular o módulo a partir das componentes vamos utilizar a seguinte fórmula:

A 2 = A x 2 + A y 2

Para saber o sentido e a direção do vetor, temos que prestar muita atenção aos sinais das camponentes e saber que:

t g   θ = A y A x  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) A x =   - 8,60 c m                         A y =   5,20 c m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = - 8,60 c m 2 + 5,20 c m 2

A 2 = 101 c m 2

A ≅ 10 c m

Vamos fazer um desenho desse vetor, colocando um sistema de eixos e suas componentes no plano cartesiano.

Agora vamos calcular o ângulo e avaliar se está coerente.

t g   θ = 5,20 c m - 8,60 c m =   - 0,60

Como a componente x é negativa e a componente y é positiva, o vetor está no segundo quadrante, como no desenho.

O ângulo do que o vetor faz deve ser calculado a partir do primeiro quadrante portanto vamos guardar o valor de θ em módulo e retirar de 180 ° como podemos ver na figura.

θ = a r c t g - 0,60 = - 30,96 °

Pro calculo do ângulo da posição usaremos o módulo de θ :

θ = 30,86 °

Mas não se esqueça de tirar esse ângulo dos 180 para ter a posição do vetor:

θ ' = 180 - θ = 180 - 30,96 ° = 149,04 °

Passo 3

b) A x =   - 9,70 m                         A y =   - 2,45 m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = - 9,70 m 2 + - 2,45 m 2

A 2 = 100   m 2

A = 10 m

Vamos de novo fazer um desenho, aqui poderemos representar somente os sinais pra avaliar a coerência do ângulo encontrado.

Vamos calcular o valor de θ , começando pela sua tangente.

t g   θ = - 2,45   m - 9,70   m =   0,25

θ = a r c t g 0,25 = 14,04 °

Também usaremos o módulo ainda que pro caso positivo não faça diferença alguma:

θ = 14,04 °

Como a componente x negativa e a componente y é negativa, o vetor esta no terceiro quadrante. Nesse caso o ângulo θ ' que o vetor faz com o primeiro quadrante é:

θ ' = 180 ° + θ = 180 + 14,04 = 194,04 °

Passo 4

c) A x =   7,75 k m                         A y =   - 2,70 k m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = 7,75 k m 2 + - 2,70 k m 2

A 2 = 67   k m 2

A = 8,20   k m

Vamos avaliar na figura a posição do vetor e o seu ângulo:

Calculando o valor de θ :

  t g   θ = - 2,70 k m 7,75 k m = -   0,35

Como a componente x é positiva e a componente y é negativa, o vetor esta no quarto quadrante.

Nesse caso calculamos o ângulo θ :

θ = a r c t g - 0,35 = 19,29 °

E subtraímos de 360 ° o seu módulo:

θ ' = 360 - θ = 360 - 19,29

Logo:

θ = 340 , 71 °

Resposta

  1. A ≅ 10 c m

  2. A = 10 m

A = 8,20   k m

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