Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 6, Questão 40

40) Calcule

C   F d r

Onde F x ,   y ,   z = y z + x 3 ,   x z + 3 y 2 ,   x y + 4 e C é a curva obtida como interseção da superfície z = 5 - y 2 , z 1 , e x + z = 5 , orientada no sentido de crescimento de y .

Passo 1

Uma integral de linha como essa a gente sabe que tem dois meios basicamente que podemos resolver:

1º - Resolver pelo método diretão.

2º - Resolver pelo teorema de Stokes.

Bem, do modo diretão você pode desconfiar pois temos um campo bem chato e essa complexidade e essa complexidade toda não é um bom sinal. Logo podemos pensar no:

O teorema de Stokes

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tão tá bom sabemos que Stokes pode resolver o problema, mas o que ele fala mesmo? Bem basicamente ele iguala a integral de linha com uma de superfície dessa forma aqui:

C   F d r = S   r o t   F n   d S

Assim, ao invés de termos que calcular uma integral de linha, podemos calcular uma integral de superfície 😉!

Porém Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

A curva C dada no problema é a intersecção do paraboloide z = 5 - y 2 . Uma parábola de cabeça pra baixo no plano z y , mas como estamos no espaço são um monte delas ao redor de x . Veja:

Bem e esse cara está se intercedendo com um plano x + z = 5 dessa forma aqui oh

Como queremos apenas a parte onde z 1 ... Veja aqui a curva C ! Vou destacar ela aqui pra você, oh:

Passo 4

Eita Preula! A curva que encontramos tem um sério problema: ela é aberta e não delimita nenhuma superfície.

Porém nem tudo está perdido 😊! Veja que essa curva se fecha caso colocamos aquela retinha ali no chão z = 1 ...

Matematicamente, essa reta tem o z = 1 e veja que ela tem um x constante, pois ela não varia nele. Para descobri-lo, basta pegar o plano e zerar o z :

x + z = 5      

x = 4

O y é o único carinha que varia nessa reta.

Bem, mas agora, com essa retinha adicionada (vamos chamar essa reta de C 1 , ok) podemos fechar a superfície no seu interior, onde a mais evidente é o próprio pedacinho de plano 😉!

A esse pedacinho, vamos chamar de S (apenas nomes para não confundirmos).

Passo 5

A segunda condição de Stokes que precisamos analisar é:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F

F x ,   y ,   z = y z + x 3 ,   x z + 3 y 2 ,   x y + 4

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

Passo 6

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente. Como a curva C (a original azul do enunciado) gira no sentido de maior crescimento de y ...

Então pela regra da mão direita a gente tem o vetor normal n apontado lá pra baixo...

Eis que elas agora sim estão orientadas positivamente, saca? :)

Passo 7

Com as condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa nice:

��� S   F d r = S   r o t   F n   d S

Como a curva S é a borda da superfície S , o que no caso são as curvas C e C 1 ...

C   F d r + C 1   F d r = S   r o t   F n   d S

Queremos na real a integral de linha em cima da curva C (curva parabólica), então a isolemos...

C   F d r = S   r o t   F n   d S - C 1   F d r

Eu sei, trocar uma integral por outras duas parece insano, mas vai por mim que isso é o método mais rápido 😐. Bora calcular então 😉?

Passo 8

Começando pela integral de superfície

S   r o t   F n   d S

podemos encontrar esse rotacional numa boa fazendo...

r o t   F = F 3 y - F 2 z ,   F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y

Como

F x ,   y ,   z = y z + x 3 ,   x z + 3 y 2 ,   x y + 4      

Então...

r o t   F = x - x ,   y - y ,   z - z

r o t   F = 0 ,   0 ,   0

Epa! Como o Rotacional é nulo, então nem precisamos mais calcular a integral de superfície pq sabemos que o valor dela é...

S   r o t   F n   d S = S   0 ,   0 ,   0 n   d S = 0

Passo 9

Nos falta a integral de linha:

C 1   F d r

Essa integral está sendo calculada em cima da reta C 1 que vimos que tem equação...

z = 1

x = 4

E o y é o cara que varia. Logo uma Boa parametrização dessa reta é...

γ y = 4 ,   y ,   1

Onde y , já vimos que vai de 2 até - 2 nesse sentido mesmo.

Então o termo d r ...

d r = γ ' y d y                       d r = 0 ,   1 ,   0 d y

O campo F é

F x ,   y ,   z = y z + x 3 ,   x z + 3 y 2 ,   x y + 4

Mas trocando o x ,   y e z ...

F x ,   y ,   z = y + 4 3 ,   4 + 3 y 2 ,   4 y + 4

Então na integral de linha isso tudo fica...

C 1   F d r = 2 - 2 y + 4 3 ,   4 + 3 y 2 ,   4 y + 4 0 ,   1 ,   0 d y =

- - 2 2 4 + 3 y 2   d y = - 4 y + y 3 - 2 2 =

- 2 8 + 8 = - 32

Passo 10

Retornando então ao problema inicial de encontrar a integral de linha em cima de C indiretamente pelas duas integrais...

C   F d r = S   r o t   F n   d S - C 1   F d r

Substituindo tudo...

C   F d r = 0 - - 32 =

32

Resposta

32

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