Calcule a integral de linha da função vetorial F x , y = ( 2 x , cos ⁡ y + 2 y arctg ⁡ y ) ao longo da curva C parametrizada por γ θ = ( 1 + sen ⁡ θ cos ⁡ θ , 1 + sen ⁡ θ sen ⁡ θ ) , θ ∈ [ 0 , π ] .

Passo 1

Essa integral não parece muito simples de se calcular pela definição, não é? Vamos calcular o valor de ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y para ver se conseguimos simplificar o problema. Temos:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x cos ⁡ y + 2 y arctg ⁡ y = 0

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y 2 x = 0

Como

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Como o campo está definido em todo o R 2 e tem o rotacional igual a zero, sabemos que esse campo é conservativo (a integral independe do caminho).

Nós poderíamos calcular a função potencial, como temos feito até então, mas nos depararíamos com ∫ a r c t g   y   d y , que não sabemos integrar. Então, vamos optar por outro caminho: escolher outra curva σ que ligue os pontos inicial e final da curva C e calcular a integral ao longo dessa curva. Para facilitar as contas, vamos escolher o segmento de reta que liga esses pontos.

Lembre-se de que, por Green, temos:

∫ C   F ⋅ d r + ∫ σ _   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = 0

∫ C   F ⋅ d r = - ∫ σ _   F ⋅ d r = ∫ σ   F ⋅ d r

Passo 2

Primeiramente, temos que descobrir o ponto inicial e o final de C . Quando:

t = 0   → A = 1 + sen ⁡ 0 cos ⁡ 0 ,   1 + sen ⁡ 0 sen ⁡ 0 ) = ( 1,0 )

t = π   → B = 1 + sen ⁡ π cos ⁡ π ,   1 + sen ⁡ π sen ⁡ π ) = ( - 1,0 )

Passo 3

Vamos, então, parametrizar nossa reta. Temos uma reta que pertence ao eixo x , pois y = 0 sempre (e x varia de 1 a - 1 ). Cuidado com a orientação da curva! Podemos parametrizar então dessa forma: σ → = ( x , 0 ) .

A derivada dessa parametrização será σ → ' = ( 1,0 ) .

Passo 4

Aplicando tais valores na definição de integrais de linha, temos:

∫ 1 - 1 2 x , cos ⁡ 0 + 2 0 arctg ⁡ 0 ⋅ 1,0 d x =

= ∫ 1 - 1 2 x   d x =

= x 2 1 - 1 =

= 1 - 1 =

Resposta

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