Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFPE, Cálculo 3, 1°EE - 2015.1, Questão 5

Calcule a integral de linha

C 1 + ln x + e y d x + x e y + sen 3 y d y

Onde C é o segmento de reta que liga o ponto 1,0 ao ponto e , π

Passo 1

Que integral de linha chata essa né? Esse campo mt doido com x e y , logaritmo e outras informações que eu acharia muito difícil integrar direto!

Vamos encontrar outro jeito de calcular isso aí. Já que a nossa curva é aberta, vamos ver se podemos encontrar uma função potencial aqui.

Vamos checar se o campo é conservativo, pra isso F 2 x - F 1 y tem que ser igual a zero

Sabemos que

F 1 = 1 + ln x + e y

F 2 = x e y + sen 3 y

Derivando isso

F 2 x = e y

F 1 y = e y

F 2 x - F 1 y = 0

Vamos encontrar a função potencial aqui e resolver essa questão! Lembra da definição né?

f = F

Portanto

f x = F 1

f y = F 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos às contas! Começando por

f x = F 1

f = F 1 d x

f = 1 + ln x + e y d x

Aqui entra um macetezinho, a integral de ln x não da pra calcular direto, mas a integral de 1 + ln x é conhecida!

1 + ln x d x = x ln x

Se a gente deriva isso aí realmente da 1 + ln x pela derivada do produto! Olha só

x ln x ' = 1 ln x + x x = ln x + 1

Continuando aqui

f = 1 + ln x + e y d x

f = x ln x + x e y + K 1 y

Passo 3

Integrando F 2 agora

f y = F 2

f = F 2 d y

f = x e y + sen 3 y d y

E agora, como integra sen 3 y , também é meio chato, tem que usar um artifício aqui

sen 3 y = sen y sen 2 y

= sen y 1 - cos 2 y

= sen y - sen y cos 2 y

Só aumentou a parada né? Confia que vai dar certo!

sen 3 y d y = sen y - sen y cos 2 y d y

Fazendo uma mudança aqui

u = cos y

d u = - sen y d y

sen y cos 2 y d y

= - sen y cos 2 y d y = u 2 d u = u 3 3

= cos 3 y 3

Ou seja

sen y - sen y cos 2 y d y

= - cos y + cos 3 y 3

Voltando lá pra f , fica assim

f = x e y + sen 3 y d y

f = x e y - cos y + cos 3 y 3 + K 2 x

Passo 4

Beleza, comparando os dois valores de f que achamos

f = x ln x + x e y + K 1 y

f = x e y - cos y + cos 3 y 3 + K 2 x

Ve se essa função aqui não serve pras duas:

f =   x e y - cos y + cos 3 y 3 + x ln x + K

Bem grandinha né? Mas é isso mesmo!

Passo 5

Agora que temos a função potencial, só usar o teorema

A B F . d r = f B - f A

Vamos calcular isso aí separado pra facilitar

f =   x e y - cos y + cos 3 y 3 + x ln x + K

Em B = e , π

f B = e . e π - cos π + cos 3 π 3 + e ln e + K

f B = e π + 1 + 1 + - 1 3 + e + K

f B = e π + 1 + e + 2 3 + K

Em A = 1,0

f A = 1 e 0 - cos 0 + cos 3 0 3 + 1 ln 1 + K

f A = 1 - 1 + 1 3 + 0 + K

f A = 1 3 + K

Passo 6

Juntando os dois resultados

A B F . d r = f B - f A

A B F . d r = e π + 1 + e + 2 3 + K - 1 3 - K

A B F . d r = e π + 1 + e + 1 3

Resposta

A B F . d r = e π + 1 + e + 1 3

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