Calcule a integral de linha

∫ C 1 + ln ⁡ x + e y d x + x e y + sen 3 ⁡ y d y

Onde C é o segmento de reta que liga o ponto 1,0 ao ponto e , π

Passo 1

Que integral de linha chata essa né? Esse campo mt doido com x e y , logaritmo e outras informações que eu acharia muito difícil integrar direto!

Vamos encontrar outro jeito de calcular isso aí. Já que a nossa curva é aberta, vamos ver se podemos encontrar uma função potencial aqui.

Vamos checar se o campo é conservativo, pra isso ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y tem que ser igual a zero

Sabemos que

F 1 = 1 + ln ⁡ x + e y

F 2 = x e y + sen 3 ⁡ y

Derivando isso

∂ F 2 ∂ x = e y

∂ F 1 ∂ y = e y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Vamos encontrar a função potencial aqui e resolver essa questão! Lembra da definição né?

∇ f = F →

Portanto

∂ f ∂ x = F 1

∂ f ∂ y = F 2

Passo 2

Vamos às contas! Começando por

∂ f ∂ x = F 1

f = ∫ F 1 d x

f = ∫ 1 + ln ⁡ x + e y d x

Aqui entra um macetezinho, a integral de ln ⁡ x não da pra calcular direto, mas a integral de 1 + ln ⁡ x é conhecida!

∫ 1 + ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x

Se a gente deriva isso aí realmente da 1 + ln ⁡ x pela derivada do produto! Olha só

x ln ⁡ x ' = 1 ln ⁡ x + x x = ln ⁡ x + 1

Continuando aqui

f = ∫ 1 + ln ⁡ x + e y d x

f = x ln ⁡ x + x e y + K 1 y

Passo 3

Integrando F 2 agora

∂ f ∂ y = F 2

f = ∫ F 2 d y

f = ∫ x e y + sen 3 ⁡ y d y

E agora, como integra sen 3 ⁡ y , também é meio chato, tem que usar um artifício aqui

sen 3 ⁡ y = sen ⁡ y sen 2 ⁡ y

= sen ⁡ y 1 - cos 2 ⁡ y

= sen ⁡ y - sen ⁡ y cos 2 ⁡ y

Só aumentou a parada né? Confia que vai dar certo!

∫ sen 3 ⁡ y d y = ∫ sen ⁡ y - sen ⁡ y cos 2 ⁡ y d y

Fazendo uma mudança aqui

u = cos ⁡ y

d u = - sen ⁡ y d y

∫ sen ⁡ y cos 2 ⁡ y d y

= ∫ - sen ⁡ y cos 2 ⁡ y d y = ∫ u 2 d u = u 3 3

= cos 3 ⁡ y 3

Ou seja

∫ sen ⁡ y - sen ⁡ y cos 2 ⁡ y d y

= - cos ⁡ y + cos 3 ⁡ y 3

Voltando lá pra f , fica assim

f = ∫ x e y + sen 3 ⁡ y d y

f = x e y - cos ⁡ y + cos 3 ⁡ y 3 + K 2 x

Passo 4

Beleza, comparando os dois valores de f que achamos

f = x ln ⁡ x + x e y + K 1 y

f = x e y - cos ⁡ y + cos 3 ⁡ y 3 + K 2 x

Ve se essa função aqui não serve pras duas:

f =   x e y - cos ⁡ y + cos 3 ⁡ y 3 + x ln ⁡ x + K

Bem grandinha né? Mas é isso mesmo!

Passo 5

Agora que temos a função potencial, só usar o teorema

∫ A B F → . d r → = f B - f A

Vamos calcular isso aí separado pra facilitar

f =   x e y - cos ⁡ y + cos 3 ⁡ y 3 + x ln ⁡ x + K

Em B = e , π

f B = e . e π - cos ⁡ π + cos 3 ⁡ π 3 + e ln ⁡ e + K

f B = e π + 1 + 1 + - 1 3 + e + K

f B = e π + 1 + e + 2 3 + K

Em A = 1,0

f A = 1 e 0 - cos ⁡ 0 + cos 3 ⁡ 0 3 + 1 ln ⁡ 1 + K

f A = 1 - 1 + 1 3 + 0 + K

f A = 1 3 + K

Passo 6

Juntando os dois resultados

∫ A B F → . d r → = f B - f A

∫ A B F → . d r → = e π + 1 + e + 2 3 + K - 1 3 - K

∫ A B F → . d r → = e π + 1 + e + 1 3

Resposta

∫ A B F → . d r → = e π + 1 + e + 1 3

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