Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 37

Calcule C F d r , onde F x , y = sen y - y sen x i + x cos y + cos x j e C é a curva parametrizada por

r t = t 2 - 1 1 + t 2 , 2 t 2 1 + t 3 ,         c o m   0 t 1

Passo 1

Com uma parametrização dessas o que podemos fazer é torcer que F seja com campo conservativo para assim usarmos a função potencial, vamos verificar isso

Para descobrirmos se essa parada é conservativa temos que achar

F 2 x - F 1 y

Nesse exercício ele fez F 1 = sen y - y sen x e F 2 = x cos y + cos x , mas as contas são as mesmas

F 2 x = x x cos y + cos x = cos y - sen x

F 1 y = y sen y - y sen x = cos y - sen x

Vamos ter

F 2 x - F 1 y = 0

Logo essa função é conservativa no domínio do função e onde estamos trabalhando.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos achar a função potencial, devemos ter

f x = F 1

f = F 1 x = sen y - y sen x x = x sen y + y cos x + A y

Além disso devemos ter

f y = F 2

f = F 2 y = x cos y + cos x y = x sen y + y cos x + B x

Igualando esses caras vamos ter

x sen y + y cos x + B x = x sen y + y cos x + A y

B x = A y

Isso nos diz que B e A devem ser constantes, então a função potencial vai ficar

f x , y = x sen y + y cos x + K

Passo 3

Para nossa integral de linha devemos achar o ponto inicial e o final, a curva começa em t = 0

r 0 = 0 2 - 1 1 + 0 2 , 2 0 2 1 + 0 3 = - 1 1 , 0 1 = - 1,0

E vai terminar em t = 1

r 1 = 1 2 - 1 1 + 1 2 , 2 1 2 1 + 1 3 = 1 - 1 1 + 1 , 2 1 + 1 = 1 - 1 1 + 1 , 2 2 = 0,1

E a integral vai ficar

C F d r = f 0,1 - f - 1,0

C F d r = 0 sen 1 + 1 cos 0 + K - - 1 sen 0 + 0 cos - 1 + K

0 + 1 + K - 0 + 0 + K

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Resposta

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