Calcule ∫ C F → ∙ d r → , onde F → x , y = sen ⁡ y - y sen ⁡ x i → + x cos ⁡ y + cos ⁡ x j → e C é a curva parametrizada por

r t = t 2 - 1 1 + t 2 , 2 t 2 1 + t 3 ,         c o m   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Com uma parametrização dessas o que podemos fazer é torcer que F seja com campo conservativo para assim usarmos a função potencial, vamos verificar isso

Para descobrirmos se essa parada é conservativa temos que achar

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Nesse exercício ele fez F 1 = sen ⁡ y - y sen ⁡ x e F 2 = x cos ⁡ y + cos ⁡ x , mas as contas são as mesmas

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x cos ⁡ y + cos ⁡ x = cos ⁡ y - sen ⁡ x

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y sen ⁡ y - y sen ⁡ x = cos ⁡ y - sen ⁡ x

Vamos ter

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Logo essa função é conservativa no domínio do função e onde estamos trabalhando.

Passo 2

Vamos achar a função potencial, devemos ter

∂ f ∂ x = F 1

f = ∫ F 1 ∂ x = ∫ sen ⁡ y - y sen ⁡ x ∂ x = x sen ⁡ y + y cos ⁡ x + A y

Além disso devemos ter

∂ f ∂ y = F 2

f = ∫ F 2 ∂ y = ∫ x cos ⁡ y + cos ⁡ x ∂ y = x sen ⁡ y + y cos ⁡ x + B x

Igualando esses caras vamos ter

x sen ⁡ y + y cos ⁡ x + B x = x sen ⁡ y + y cos ⁡ x + A y

B x = A y

Isso nos diz que B e A devem ser constantes, então a função potencial vai ficar

f x , y = x sen ⁡ y + y cos ⁡ x + K

Passo 3

Para nossa integral de linha devemos achar o ponto inicial e o final, a curva começa em t = 0

r 0 = 0 2 - 1 1 + 0 2 , 2 ∙ 0 2 1 + 0 3 = - 1 1 , 0 1 = - 1,0

E vai terminar em t = 1

r 1 = 1 2 - 1 1 + 1 2 , 2 ∙ 1 2 1 + 1 3 = 1 - 1 1 + 1 , 2 1 + 1 = 1 - 1 1 + 1 , 2 2 = 0,1

E a integral vai ficar

∫ C F → ∙ d r → = f 0,1 - f - 1,0

∫ C F → ∙ d r → = 0 sen ⁡ 1 + 1 cos ⁡ 0 + K - - 1 sen ⁡ 0 + 0 cos ⁡ - 1 + K

⇒ 0 + 1 + K - 0 + 0 + K

⇒ 1

Resposta

1

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