Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2011.1, Questão 3

Calcule o trabalho realizado pela força F ( x , y ) para deslocar uma partícula do ponto A ( 0,0 ) até o ponto B ( 1,1 ) ao longo da curva definida por y = x 5 , onde

F x , y = y + 2 x 2 y e x 2 + y + x cos x 2 ,   x + x y e x 2 + y + y 4

Passo 1

Como essa integral não parece muito simples de se calcular pela definição, vamos calcular o valor de F 2 x - F 1 y para ver se conseguimos simplificar o problema. Temos:

F 2 x = x x + x y e x 2 + y + y 4 = ( 1 + y ) e x 2 + y + x + x y 2 x e x 2 + y

F 1 y = y y + 2 x 2 y e x 2 + y + x cos x 2 = 1 + 2 x 2 e x 2 + y + y + 2 x 2 y e x 2 + y

F 2 x - F 1 y = e x 2 + y 1 + y + x + x y 2 x - e x 2 + y [ 1 + 2 x 2 + y + 2 x 2 y ]

F 2 x - F 1 y = e x 2 + y 1 + y + 2 x 2 + 2 x 2 y - e x 2 + y 1 + 2 x 2 + y + 2 x 2 y = 0

Como o campo está definido em todo o domínio, sabemos que esse campo é conservativo.

Calcular a função potencial desse campo não parece algo muito simples, então, vamos optar por outro caminho. Escolheremos uma curva que liga os pontos inicial e final da curva do problema. Uma vez que a integral independe do caminho, temos:

W = C   F . d r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aqui temos um detalhe importante. Se escolhermos a reta x = y , que liga diretamente o ponto inicial ao final, a solução está correta, porém, encontraremos contas complicadas. Veja que quando escolhemos retas paralelas aos eixos coordenados x e y , nós temos uma coordenada da derivada da parametrização igual a zero, o que simplifica muito a integral.

Por isso, vamos escolher dois segmentos para ligar esses pontos: um horizontal que vai de ( 0,0 ) até ( 1,0 ) seguido de outro vertical que vai de ( 1,0 ) até ( 1,1 ) . Você vai ver que isso evitará muitas contas! Temos, então:

W = H   F . d r + v   F . d r

Segmento horizontal: Temos os pontos extremos: A ( 0,0 ) e B ( 1,0 ) . Esse segmento está contido na reta y = 0 (onde x varia), como podemos ver pelos pontos dados, então, vamos parametrizá-lo com H = ( x , 0 ) . Com 0 x 1 .

Derivando essa expressão, temos: H ' = ( 1,0 ) .

Segmento vertical: Temos os pontos extremos: A ( 1,0 ) e B ( 1,1 ) . Esse segmento está contido na reta x = 1 (onde y varia), como podemos ver pelos pontos dados, então, vamos parametrizá-lo com V = ( 1 , y ) . Com 0 y 1 .

Derivando essa expressão, temos: V ' = ( 0,1 ) .

Passo 3

Aplicando tais valores na definição de integrais de linha, temos:

H   F . d r = 0 1 0 + 0 e x 2 + 0 + x cos x 2 ,   x + x 0 e x 2 + 0 + 0 . 1,0 d x

H   F . d r = 0 1 x cos x 2 d x

v   F . d r = 0 1 y + 2 y e 1 + y + cos 1 ,   1 + y e 1 + y + y 4 . ( 0,1 ) d y

v   F . d r = 0 1 1 + y e 1 + y + y 4   d y

Temos, então,

W = 0 1 x cos x 2 d x + 0 1 1 + y e 1 + y + y 4   d y

Passo 4

Vamos, agora, calcular essas integrais:

W = s e n   x 2 2 0 1 + y e 1 + y + y 5 5 0 1

W = s e n   1 2 + e 2 + 1 5

Resposta

W = 5   s e n   1 + 10 e 2 + 2 10

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas