Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 10

Um campo de forças bidimensional F define-se por F x , y = x + y i + x - y j

  1. Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva r t = f t i + g t j ,   a t b , depende unicamente de f a , f b , g a e g b .
  2. Determine o trabalho realizado quando f a = 1 , f b = 2 , g a = 3 e g b = 4

Passo 1

a )

Vamos começar vendo como calcular o trabalho de uma partícula. Lembre-se de que

W = C F d s

Ou seja, é a integral de linha de F ao longo do caminho C . E pelo seu método de resolução clássico:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando:
  2. r t = f t i + g t j

  3. Substituir os termos do campo vetorial F x ,   y pelos termos da parametrização:
  4. F x ,   y = F f t , g t

  5. Encontrar o termo d s :

d s = r ' t d t

Essa integral de linha vira:

C F d s = F f t , g t r ' t d t

Essa integral é meio louca né, nem sei como resolvê-la. Mas repara que f a , f b , g a e g b são as coordenadas iniciais e finais da partícula

r a = f a i + g a j

r b = f b i + g b j

Então ele quer que você mostre que não depende do caminho, isso nos diz que temos que verificar se essa parada é conservativa. Saca?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos verificar! Para isso precisamos calcular: como F x , y = x + y i + x - y j ...

F 1 = x + y e F 2 = x - y , então:

F 2 x - F 1 y

F 2 x - F 1 y = 1 - 1 = 0

Como esse termo deu 0 , e o campo está definido em todo o R 2 , esse campo é conservativo. Então não depende do caminho, podemos achar a função potencial e mostrar que ele depende apenas das coordenadas dos pontos. Vamos fazer isso

F 1 = f x

h = F 1 d x =

x + y d x = x 2 2 + x y + A ( y )

Repare que surgiu uma “constante” que depende de y (afinal se derivarmos em relação a x esse resultado, A ( y ) desaparece, saca, então na integral ela aparece)... Fazendo o outro lado...

F 2 = f y

h = F 2 d y = x - y d y = x y - y 2 2 + B ( x )

B ( x ) é “constante” de integração que depende de x . Devemos ter:

x 2 2 + x y + A y = x y - y 2 2 + B ( x )

x 2 2 + A y = - y 2 2 + B ( x )

Se A y = y 2 2 e B x = x 2 2 , essa igualdade se verifica. Concluímos então que nossa função potencial pode ser escrita como:

h = x 2 2 + x y - y 2 2 + k

Onde k é uma constante.

Passo 3

Por propriedade desse tipo de integral, podemos calcular a integral de linha como

W = F f t , g t r ' t d t = h B - h A

Já vimos que

B = f b , g b

A = f a , g a

Então

W = f b 2 2 + f b g b - g b 2 2 + k - f a 2 2 + f a g a - g a 2 2 + k

W = f b 2 2 + f b g b - g b 2 2 - f a 2 2 - f a g a + g a 2 2

Então o trabalho só depende de f a , f b , g a e g b !

Passo 4

b )

Vamos substituir os valores de f a , f b , g a e g b na equação do trabalho

W = 2 2 2 + 2.4 - 4 2 2 - 1 2 2 - 1.3 + 3 2 2 = 2 + 8 - 8 - 1 2 - 3 + 9 2 = 8 2 - 1 = 4 - 1 = 3

Resposta

a )   W = f b 2 2 + f b g b - g b 2 2 - f a 2 2 - f a g a + g a 2 2

b )   3

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