Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão 30

Quais dos campos abaixo não são conservativos?

  1. F = y z i + x z j + x y k
  2. F = y . sen z i + x . sen z j + x y . cos z k
  3. F = y i + x + z j - y k
  4. F = - y i + x j
  5. F = z + y i + z j + y + x k
  6. F = e x cos y i - e x . sen y j + z k

Passo 1

Vamos lembrar da definição de um campo conservativo F .

Se existir uma função escalar f cujo gradiente é o campo vetorial F , então F é conservativo. Bem simples né? Lembre-se de que o gradiente de uma função f é calculado assim:

f = x f i + y f j + z f k

Esse f é chamado de “potencial” do campo F .

Nesse caso, como queremos achar os campos que não são conservativos, é útil saber o seguinte: se o rotacional de um campo vetorial é diferente de zero, então ele não pode ser conservativo! Lembre-se de que o rotacional é calculado assim:

× F = F z y - F y z , F x z - F z x , F y x - F x y

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Passo 2

Vamos começar pelo primeiro então, infelizmente isso exige uma análise um pouco subjetiva.

Veja se consegue achar uma função cujo gradiente dê esse campo aqui:

F = y z i + x z j + x y k

Sim! A função é a seguinte:

f x , y , z = x y z

Vamos calcular o gradiente para conferir:

f = x x y z i + y x y z j + z x y z k

f = y z i + x z j + x y k

Beleza, provamos que existe um potencial para o primeiro campo, e portanto ele é conservativo.

Passo 3

Agora vamos olhar o segundo:

y . sen z i + x . sen z j + x y . cos z

Dessa vez o potencial não é tão óbvio, então vamos usar uma técnica para procurá-lo.

Começamos fazendo a integral indefinida de todas as componentes:

y . s e n ( z ) d x = x y . sen ( z ) + A

x . sen ( z )   d y = x y . sin z + B

x y . cos z d z = x y . sin z + C

Beleza, demos sorte, todas as integrais indefinidas são iguais se as constantes forem nulas! Isso quer dizer que o nosso potencial é:

f x , y , z = x y . sin z

E então o campo é conservativo!

Passo 4

No terceiro campo, como temos funções mais ou menos simples, vamos logo calcular o rotacional, se der diferente de zero a gente já sabe que não é conservativo. Se for igual a zero temos que continuar verificando.

F = y i + x + z j - y k

× F = F z y - F y z , F x z - F z x , F y x - F x y

Substituindo o campo na fórmula:

× F = y ( - y ) - z ( x + z ) , z ( y ) - x ( - y ) , x ( x + z ) - y ( y )

Resolvendo todas essas derivadas, achamos o seguinte:

× F = - 1 - 1   ,   0   , 1 - 1 = ( - 2   ,   0   ,   0 )

Beleza, o rotacional não é nulo, então esse campo não é conservativo.

Passo 5

O campo IV também tem funções mais ou menos simples:

F = - y i + x j

Então vamos calcular o rotacional dele logo de cara e ver no que dá:

× F = F z y - F y z , F x z - F z x , F y x - F x y

× F = y ( 0 ) - z ( x ) , z ( - y ) - x ( 0 ) , x ( x ) - y ( - y )

× F = 0,0 , 1 + 1 = ( 0,0 , 2 )

Esse rotacional também não é nulo, então o campo IV também não é conservativo.

Passo 6

O campo V segue o mesmo padrão dos dois campos anteriores:

F = z + y i + z j + y + x k

Calculando o rotacional:

× F = F z y - F y z , F x z - F z x , F y x - F x y

× F = y ( y + x ) - z ( z ) , z ( z + y ) - x ( y + x ) , x ( z ) - y ( z + y )

× F = 1 - 1   ,   1 - 1,0 - 1 = ( 0   ,   0   , - 1 )

O rotacional não é nulo, então o campo não é conservativo.

Passo 7

O campo VI é um pouco mais complicado, então não vale a pena calcular o rotacional. Vamos tentar achar o potencial por aquele método das integrais, ou seja, vamos integrar cada uma das componentes do campo:

F = e x cos y i - e x . sen y j + z k

e x cos y d x = e x cos y + A

- e x . sen y   d y = e x cos y + B

z   d z = z 2 2 + C

Esse é um caso interessante. Quando as integrais derem resultados diferentes, tente “juntar” as três soluções e ver se o resultado já é um potencial (frequentemente a resposta é sim):

f x , y , z = e x cos y + z 2 2

Perceba que nós não somamos os resultados, fizemos uma espécie de “união”. Vamos calcular o gradiente para ver se esse é um campo potencial:

f = x e x cos y + z 2 2 i + y e x cos y + z 2 2 j + z e x cos y + z 2 2 k

f = e x cos y i - e x sen y j + z k

Que é exatamente o campo que tínhamos no início, ou seja, achamos um potencial, então esse campo é conservativo.

Resposta

Os campos 3 ,   4 e 5 não são conservativos.

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