Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2014.1, Questão 4

Considere o campo

F   x , y , z = ( y e z + z ,   x e z ,   x y e z )

Calcule a integral de linha C F   d r , onde C é a interseção da superfície z = 1 - x 2 , z 0 , com o plano x + y = 1 orientada com x crescente.

Passo 1

A curva vai ser a interseção dada pelo gráfico abaixo:

Se a gente encontrar a interseção das superfícies pra saber onde C começa e termina vamos ter:

z = 1 - x 2 z = 0 x + y = 1

Substituindo a segunda equação na primeira:

z = 1 - x 2

0 = 1 - x 2

x 2 = 1 x = ± 1

Substituindo na terceira:

x + y = 1

1 + y = 1 y = 0

- 1 + y = 1 y = 2

Então a curva começa no ponto a = - 1,2 , 0 e termina no ponto b = ( 1,0 , 0 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa que você tem que fazer quando ele te pedir para calcular a integral de linha

C F   d r

é calcular r o t ( F   ) .

r o t F   = i j k x y z F 1 F 2 F 3 = i j k x y z y e z + z x e z x y e z

r o t F   = ( 0,1 , 0 )

Passo 3

O rotacional “quase” deu zero. Na verdade, a única coisa que impediu o rotacional de dar zero foi o termo " + z " que aparece na primeira componente do campo vetorial, concorda?

Agora que vem a sacada principal do problema, que é o fato de você poder reescrever o campo vetorial F   da seguinte forma.

F   x , y , z = y e z ,   x e z ,   x y e z + ( z , 0,0 )

Fazendo isso, você divide esse cara em duas funções: y e z ,   x e z ,   x y e z , que eu vou chamar de G   e ( z , 0,0 ) , que eu vou chamar de H   .

F   x , y , z = G   x , y , z + H   ( x , y , z )

A vantagem de fazer isso é que, provavelmente, agora G   ( x , y , z ) vai ser um campo conservativo, e isso pode facilitar a minha vida.

De qualquer forma, o problema agora é dividido em duas partes:

C F   d r = C G   d r + C H   d r

Passo 4

Vamos começar por C G   d r .

Primeiro, vamos testar se G   é mesmo um campo conservativo.

r o t G   = i j k x y z G 1 G 2 G 3 = i j k x y z y e z x e z x y e z

r o t G   = ( 0,0 , 0 )

Então G   é mesmo um campo conservativo.

Passo 5

Para problemas de campo conservativo, temos que calcular a função potencial V , tal que:

G   = V

Encontramos a função potencial da seguinte maneira:

V x = G 1 = y e z V = x y e z + A ( y , z )

V y = G 2 = x e z V = x y e z + B ( x , z )

V z = G 3 = x y e z V = x y e z + C ( x , y )

Comparando as três equações para V , chegamos à conclusão de que:

V = x y e z

Passo 6

C G   d r = V b - V a

V 1,0 , 0 - V - 1,2 , 0 = 2

Passo 7

Agora vamos resolver C H   d r .

Como a curva está sobre o plano

x + y = 1 y = 1 - x

E sobre o cilindro

z = 1 - x 2

Então uma parametrização adequada é:

γ t = ( t , 1 - t , 1 - t 2 )

- 1 t 1

Passo 8

A integral de linha de H   sobre a curva C é dada por

C H   d r = - 1 1 H γ t γ ' ( t )   d t

Agora é só substituir o que precisamos:

H   = z , 0,0 H   γ t = ( 1 - t 2 , 0,0 )

γ t = t , 1 - t , 1 - t 2 γ ' t = ( 1 , - 1 , - 2 t )

Portanto

C H   d r = - 1 1 1 - t 2 , 0,0 . 1 , - 1 , - 2 t   d t

= - 1 1 1 - t 2   d t = t - t 3 3 - 1 1

= 1 - 1 3 - - 1 + 1 3

= 2 - 2 3 = 4 3

Passo 9

C F   d r = C G   d r + C H   d r

Onde:

C G   d r = 2

C H   d r = 4 3

Logo:

C F   d r = 2 + 4 3 = 10 3

Resposta

C F   d r = 10 3

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