Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2017.2, Questão ME5

5) Considere o campo conservativo

F = e x sin y + e z cos x ,   e x cos y + e y sin z ,   e y cos z + e z sin x .

Então o valor da integral de linha deste campo ao longo de uma curva com ponto inicial 1 ,   0 ,   0 e ponto final 1 ,   1 ,   - 1 é

  1. - 1 + 1 / e sin 1
  2. e cos 1
  3. cos 1 + sin 1
  4. 1
  5. 1 / e ( c o s   ( 1 ) - s i n   ( 1 ) )

Passo 1

Como

F = e x sin y + e z cos x ,   e x cos y + e y sin z ,   e y cos z + e z sin x = F 1 ,   F 2 ,   F 3 .

Vamos achar a função potencial f para o campo. Devemos ter

f x = F 1

f = F 1 d x = e x sin y + e z cos x d x = e x sin y + e z s in x + A y , z

Além disso devemos ter

f y = F 2

f = F 2 d y = e x cos y + e y sin z d y = e x sin y + e y sin z + B x ,   z

Outra que também temos é...

f z = F 3

f = F 3 d z = e y cos z + e z sin x d z = e y sin z + e z sin x + C x ,   y

Logo, f só pode ser, unindo essas três informações...

f = e x sin y + e y sin z + e z sin x + K

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para nossa integral de linha devemos achar o ponto inicial e o final, a curva começa em 1 ,   0 ,   0 e termina em 1 ,   1 ,   - 1

A integral vai ficar

C F d r = f 1 ,   1 ,   - 1 - f 1 , 0 ,   0

C F d r = e 1 sin 1 + e 1 sin - 1 + e - 1 sin 1 + K - e 1 sin 0 + e 0 sin 0 + e 0 sin 1 + K =

C F d r = e - 1 sin 1 - sin 1 = 1 e - 1 sin 1

Resposta

a )   1 e - 1 sin 1

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