Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2013.2, Questão 2

Considere o campo F x , y , z = ( y 2 + z , 2 x y , x ) e R > 0 um parâmetro.

Seja C a curva definida pela interseção da superfície z = R - x 2 + y 2 com o plano x + y = 0 , com z 0 , orientada com x crescente.

Determine R para o qual

C F d r = 17 2

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é calcular r o t ( F   ) .

r o t F   = i j k x y z F 1 F 2 F 3 = i j k x y z y 2 + z 2 x y x

r o t F   = ( 0,0 , 0 )

Logo, trata-se de um campo conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para problemas de campo conservativo, temos que calcular a função potencial V , tal que:

F   = V

Encontramos a função potencial da seguinte maneira:

V x = F 1 = y 2 + z V = x y 2 + x z + A ( y , z )

V y = F 2 = 2 x y V = x y 2 + B ( x , z )

V z = F 3 = x V = x z + C ( x , y )

Comparando as três equações para V , chegamos à conclusão de que:

V = x y 2 + x z

Passo 3

C F   d r = V b - V a

Para descobrir os pontos final e inicial, vamos analisar a curva dada pelo problema.

A curva definida pela interseção da superfície z = R - x 2 + y 2 com o plano x + y = 0 , com z 0 , orientada com x crescente.

Quando z = 0 ,

x 2 + y 2 = R 2

Sendo um círculo de raio R .

O plano dado pelo problema é

x + y = 0 y = - x

Substituindo na equação do círculo de raio R que encontramos:

2 x 2 = R 2 x = ± R 2

Logo, como x é crescente os pontos inicial e final serão:

a = - R 2 , R 2 , 0

b = R 2 , - R 2 , 0

Passo 4

C F   d r = V b - V a

V = x y 2 + x z

a = - R 2 , R 2 , 0

b = R 2 , - R 2 , 0

Agora é só substituir e ser feliz:

C F   d r = R 3 2 2 + 0 - - R 3 2 2 + 0

= R 3 2

Passo 5

C F   d r = 17 2 = R 3 2

R 3 = 17

R = 17 1 / 3

Resposta

R = 17 3

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