Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G4 - 2014.1, Questão 2

Considere o campo vetorial

F x , y , z = 2 x y   s e n z ,   x 2 s e n   z - z   s e n   y ,   x 2 y cos z + cos y

  1. Sem calcular funções potenciais, diga se F possui potencial escalar.
  2. Encontre a família de funções potenciais para F .
  3. (o aluno não poderá apresentar a resposta por tentativa e erro, mas deverá desenvolver um método e verificar o resultado obtido.)

  4. Suponha que F é um campo de forças. Calcule o trabalho realizado por F para deslocar uma partícula ao longo da curva C .

c1) que limita o triângulo de vértices 1,1 , 1 ,   ( 1,1 , 0 ) e ( 2,0 , 0 ) , orientado nesse sentido.

c2 que liga os pontos ( 0,1 , π / 2 ) a ( 0 , π / 2,1 ) .

Passo 1

Letra a)

Como o campo é de classe C 1 e está definido em todo R 2 (não temos singularidades), basta calcularmos o rotacional:

r o t F = ×   F = i j k x y z F 1 F 2 F 3

r o t F = F 3 y - F 2 z ,   F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y

r o t F = x 2 cos z - s e n   y - x 2 cos z + s e n   y , 2 x y cos z - 2 x y cos z , 2 x   s e n   z - 2 x   s e n   z

r o t F = ( 0,0 , 0 )

Show, mostramos que o campo é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Vamos calcular f então, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Temos então o seguinte:

2 x y   s e n z ,   x 2 s e n   z - z   s e n   y ,   x 2 y cos z + cos y = f x ,   f y ,   f z

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = 2 x y   s e n z f x , y , z = x 2 y   s e n ( z ) + M ( y , z )

f y = x 2 s e n   z - z   s e n   y f x , y , z = x 2 y   s e n z + z cos ( y ) + P ( x , z )

f z = x 2 y cos z + cos y f x , y , z = x 2 y   s e n z + z cos y + Q ( x , y )

Comparando as equações, vemos que:

M y , z = z cos y

P x , z = 0

Q x , y = 0

O que nos dá

f x = x 2 y   s e n z + z cos y + k

Passo 3

Letra c1)

O problema nos pede a integral de linha de F ao longo de C , onde C é um triângulo. Bem, se o campo é conservativo, está definido em todo o R 3 e a curva C é fechada, então a integral de linha é igual a zero.

Podemos ver isso assim também:

C   F . d r = f B - f A = 0

Pois A = B , logo, f A = f ( B ) .

Passo 4

Letra c2)

O problema nos pede a integral de linha

C   F . d r

E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

C   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva C é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

f x = x 2 y   s e n z + z cos y + k

f 0,1 , π 2 = 0 + π 2 cos 1 + k

f 0 , π 2 , 1 = 0 + 0 + k

Ou seja, temos:

C   F .   d r = f 0 , π 2 , 1 - f 0,1 , π 2 = k - π 2 cos 1 + k = - π 2 cos 1

Resposta

  1. O campo é conservativo.
  2. f x = x 2 y   s e n z + z cos y + k
  3. - π 2 cos 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas