Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G4 - 2013.2, Questão 2cde

  1. Considere o campo vetorial F 2 x , y = 3 x 2 y + y , x 3 + x + 1 . Sem calcular funções potenciais justifique que F 2 é ou nao um campo conservativo.
  2. Encontre a família de funções potenciais para F 2 .
  3. Calcule

I 2 = C   F 2 . d r

Onde C consiste no arco de parábola dado por y = x 2 com x [ 0,1 ] .

Passo 1

Letra c)

Como o campo é de classe C 1 e está definido em todo R 2 (não temos singularidades), basta calcularmos o rotacional:

r o t F = F 2 x - F 1 y = 3 x 2 + 1 - 3 x 2 + 1 = 0

Show, mostramos que o campo é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra d)

Vamos calcular f então, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y

Temos então o seguinte:

3 x 2 y + y , x 3 + x + 1 = f x ,   f y ,

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = 3 x 2 y + y f x , y = x 3 y + x y + M ( y )

f y = x 3 + x + 1 f x , y = x 3 y + x y + y + P ( x )

Comparando as equações, vemos que:

M y = y

P x = 0

O que nos dá

f x , y = x 3 y + x y + y + k

Passo 3

Letra e)

O problema nos pede a integral de linha

I 2 = C   F 2 . d r

Onde C consiste no arco de parábola dado por y = x 2 com x [ 0,1 ] .

E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

C   F 2 . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva C é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Vamos, então, descobrir esses pontos.

Fazendo x = 0 , temos o ponto:

A = 0,0

Fazendo x = 1 :

B = ( 1,1 )

Ou seja, temos:

C   F 2 .   d r = f 1,1 - f 0,0 = 1 + 1 + 1 + k - 0 + 0 + 0 + k = 3

Resposta

  1. f x , y = x 3 y + x y + y + k
  2. 3

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