Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2014.2, Questão 1

Considere o campo vetorial

F x , y = ( y e x + 2 x cos y ,   e x - x 2 s e n   y )

  1. Sem calcular funções potenciais, justifique se F é, ou nao, um campo conservativo.
  2. Se F for conservativo, encontre a família de funções potenciais.
  3. (o aluno não poderá apresentar a resposta por tentativa e erro, mas deverá desenvolver um método e verificar o resultado obtido.)

  4. Calcule a seguinte integral de linha

( 0,0 ) ( 0,1 ) F .   d r

Passo 1

Letra a)

Como o campo é de classe C 1 e está definido em todo R 2 (não temos singularidades), basta calcularmos

F 2 x - F 1 y

E ver se essa diferença é zero. Digo, se F 2 x = F 1 y . Temos:

F 2 x = e x - 2 x   s e n   y

F 1 y = e x - 2 x   s e n   y

Show, mostramos que o campo é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Vamos calcular f então, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Temos então o seguinte:

y e x + 2 x cos y ,   e x - x 2 s e n   y = f x ,   f y ,   f z

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = y e x + 2 x cos y f x , y = y e x + x 2 cos y + M ( y )

f y = e x - x 2 s e n   y f x , y = y e x + x 2 cos y + P ( x )

Comparando as equações, vemos que:

M y = 0

P x = 0

O que nos dá

f x = y e x + x 2 cos y + k

Passo 3

Letra c)

O problema nos pede a integral de linha

( 0,0 ) ( 0,1 ) F .   d r

E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

C   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva C é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Ou seja, temos:

( 0,0 ) ( 0,1 ) F .   d r = f 0,1 - f 0,0 = 1 + k - 0 + k = 1

Resposta

  1. O campo é conservativo.
  2. f x , y , z = y e x + x 2 cos y + k
  3. 1

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