Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G4 - 2013.2, Questão 2ab

  1. Considere o campo vetorial F 1 x , y , z = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 . Calcule
  2. I 1 = C   F 1 . d r

    Onde C é a circunferência de centro em ( 0,0 ) e de raio 1 , orientada no sentido anti-horário.

  3. Justifique se F 1 é ou nao um campo conservativo.

Passo 1

Letra a)

Antes de tudo, precisamos parametrizar essa curva C . Como se trata de uma circunferência de raio 1 , vamos usar coordenadas polares com r = 1 :

C t = ( cos t ,   s e n   t )

Como ela está orientada no sentido anti-horário, 0 t 2 π .

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Passo 2

Agora, vamos derivar essa parametrização:

C ' t = ( - s e n   t , cos t )

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula:

C   F 1 . d r = a b F 1 C t . C ' t d t

Escrevendo o campo em função da parametrização:

F 1 C t = - s e n   t 1 , cos t 1 = ( - s e n   t , cos t )

Levando o que temos para a integral:

C   F 1 . d r = 0 2 π - s e n   t , cos t . ( - s e n   t , cos t ) d t

= 0 2 π s e n 2 t + cos 2 t d t =

= 0 2 π 1 d t = 2 π

Passo 4

Letra b)

Em um campo conservativo, a integral de linha sobre uma curva fechada dever ser igual a zero. Como vimos no item a), a integral em C (que é fechada) é diferente de zero, portanto, F 1 não é conservativo.

Resposta

  1. 2 π
  2. Não é conservativo.

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