Enunciado

Considere o campo vetorial dado por F x , y , z = e x y , - cos ⁡ y , sen 3 ⁡ z . Justifique se F tem potencial escalar e/ou potencial vetorial.

Passo 1

Para sabermos se o campo é potencial ou vetorial devemos calcular o rotacional e o divergente dessa função. Se o rotacional for 0 ela tem potencial escalar, que é o campo conservativo que já vimos. Se o divergente for 0 ele tem uma função potencial vetorial que é a própria função F .

Passo 2

Vamos ao rotacional

r o t F = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x   , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F = 0 - 0   , 0 - 0   , 0 - y e x y

r o t F = 0,0 , y e x y

Logo o rotacional é diferente de 0 , e isso nos diz que esse campo vetorial não tem potencial escalar.

Passo 3

Vamos ao divergente

d i v F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F = y e x y + - - sen ⁡ y + 3 sen 2 ⁡ z cos ⁡ z

Não preciso nem continuar que já dá para ver que não dá zero, logo ele não tem potencial vetorial.

Resposta

Ela não tem potencial escalar nem potencial vetorial

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