Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UNICAMP, Cálculo 2, P3 - 2018.2, Questão 2

Considere o campo vetorial:

F x , y = 1 + y e x y ,   2 y + x e x y .

  1. Verifique que F é campo vetorial conservativo.
  2. Ache uma função f tal que F = f .
  3. Usando o item anterios, determine o trabalho realizado pelo campo vetorial F ao mover uma partícula sobre a hipérbole x 2 - y 2 = 1 , desdo o ponto ( 3 , - 8 ) até o ponto ( 3 , 8 )   .

Passo 1

Bom, vamos começar. Aqui a gente consegue matar a (a) e a (b) com uma cajadada só. Pensa comigo, uma função potencial nada mais é do que uma função escalar cujo gradiente dela, deve ser igual ao compo vetorial do problema. Se essa função potencial existir, significa automaticamente que nosso campo F é conservativo. Então bora lá.

F = f

F 1 , F 2 = f d x , f s y

F 1 = f d x F 2 = f d y

f = F 1 d x   e   f = F 2   d y

F 1 d x = x + e x y + K

F 2 d y = y 2 + e x y + K  

f = x + y 2 + e x y + K

Se nós encontramos a função potencial associada, já podemos afirmar que nosso campo F é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Por último, mas não menos importante, vamos ver o trabalho. Pra isso fazemos

C F   d r =   f p o n t o   f i n a l - f p o n t o   i n i c i a l =

3 + 8 + e 3 8 - 3 - 8 - e - 3 8 =

= e 3 8 - e - 3 8

Melhor que isso impossível. Agora é só comemorar o notão.

Resposta

a   S i m

b   f = x + y 2 + e x y + K

c   e 3 8 - e - 3 8

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas