Considere um campo vetorial F → : R 3 → R 3 definido por

F → x , y , z = y z e x y z , x z e x y z , x y e x y z

Responda os seguintes itens.

  1. Defina campo vetorial conservativo.
  2. F → é um campo vetorial conservativo? Se sim, determine uma função potencial para F → .
  3. Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial F → sobre uma partícula que se desloca ao longo da espiral α → t = 5 cos ⁡ t , 5 sen ⁡ t , t 2 para t ∈ 0 , π / 4 .

Passo 1

Vamos começar resolvendo a letra a).

Esta letra é bem direta ao ponto. O que devemos aqui é descrever o teorema que define o que é um campo vetorial conservativo. Logo, não há muito a ser feito.

Portanto, um campo vetorial F → é conservativo quando existe uma função real tal que ∇ f = F → . Chamamos esta função f de uma função potencial para F → .

E assim finalizamos a questão. Basta enunciar a definição destes campos e pronto.

Passo 2

Vamos agora verificar se F → é um campo conservativo. Para isto, precisamos descobrir se há uma função potencial f que satisfaça o campo F → .

Portanto, procurar uma função f tal que ∇ f = F → . Lembrando,   ∇ f significa o gradiente de uma função f . Consequentemente, ele é um vetor de derivadas parciais. Portanto, esta relação consiste em:

∇ f = F →

f x , f y , f z = y z e x y z , x z e x y z , x y e x y z

Como estamos comparando vetores, comparamos a primeira coordenada de um com a primeira do outro, e assim por diante até a última coordenada. Com isto, vamos obter o seguinte sistema:

f x = y z e x y z f y = x z e x y z f z = x y e x y z

Agora, vamos pegar a relação de f x e integrá-la em relação a x para obtermos a nossa função potencial. Portanto,

f x , y , z = ∫ f x   d x ∫ y z e x y z d x

Resolvendo esta integral indefinida (basta fazer uma substituição com u = x y z e d u = y z   d x ), obtemos:

f x , y , z = e x y z + g y , z

Percebam que fizemos uma integral indefinida. Então, aparece uma constante. Só que neste caso não podemos esquecer que a constante é função de y e z .

Como assim a constante da integral não é uma constante e é uma função de y e z ? Bom, vejamos o que acontece. A nossa “constante”, é uma constante em relação a variável x . Se derivarmos ela em relação a x , obteremos 0.

E isto ocorre com uma função de y e z . Se derivarmos uma função que depende dessas 2 variáveis em relação a uma terceira, o resultado automaticamente é 0!

Portanto, ao integrarmos em x , aparece uma constante que depende das duas outras variáveis.

Continuando, vamos derivar a f em relação a y e comparar com f y . Portanto,

f y = x z e x y z + g y y , z = x z e x y z

g y y , z = 0

Portanto, se integrarmos a g y , obtemos:

g y , z = h z

Aqui acontece o mesmo que a aconteceu com o surgimento de g y , z . Ao integrarmos g y , obtemos uma constante. Só que esta constante na verdade é uma função da variável z .

A relação continua sendo verdade pois, ao derivarmos uma função que depende apenas de z em relação a qualquer outra variável, o resultado é zero!

Continuando, consequentemente, f x , y , z = e x y z + h z . Bom, a nossa constante não depende de y mais. É apenas função de z . Mas quem será esta constante? Repetiremos o mesmo processo que fizemos com o y , só que com z . Portanto,

f z = x y e x y z + h ' z = x y e x y z

h ' z = 0

Integrando h ' z , obtemos:

h z = c

Portanto, no final, era uma simples constante (que não depende de nenhuma outra variável). A nossa função potencial é f x , y , z = e x y z + c . E como há uma função potencial para o nosso campo vetorial, dizemos que ele é um campo vetorial conservativo!

Passo 3

Bom, já sabemos que o campo F → é um campo conservativo. Vamos agora calcular o trabalho sobre de uma partícula por um campo conservativo. Sabemos pela definição que o trabalho W de uma partícula é dado por:

W = ∫ C F → ⋅ d α →

Só que pelo Teorema Fundamental das Integrais de linha, o trabalho realizado pode ser escrito em função da função potencial. Isto é:

W = ∫ C F → ⋅ d α → = ∫ C ∇ f ⋅ d α →

Lembrando, verificamos que existe uma f tal que ∇ f = F → . Portanto, podemos mudar a função dentro da integral como fizemos. Continuando, colocando os limites de integração, temos:

W = ∫ 0 π / 4 ∇ f ⋅ d α →

Pelo próprio Teorema Fundamental, esta integral consiste em:

W = f α → π 4 - f α → 0

Isto é, é a diferença da função potencial nos pontos dado pela espiral α → nos pontos t final e inicial.

Portanto, nosso trabalho é calcular esses dois pontos da curva α → t e depois substituir na função f . Vamos as contas então!

α → π 4 = 5 cos ⁡ π 4 , 5 sen ⁡ π 4 , π 4 2 = 5 2 2 , 5 2 2 , π 16 2

f 5 2 2 , 5 2 2 , π 16 2 = e 5 2 2 ⋅ 5 2 2 ⋅ π 2 16 + c = e 25 π 2 32 + c

Já para o outro ponto da espiral, temos:

α → 0 = 5 cos ⁡ 0 , 5 sen ⁡ 0 , 0 2 = 5,0 , 0

f 5,0 , 0 = e 5 ⋅ 0 ⋅ 0 + c = 1 + c

Portanto, o trabalho da partícula é:

W = f α → π 4 - f α → 0

W = e 25 π 2 32 + c - 1 + c

W = e 25 π 2 32 - 1

Resposta

  1. Um campo vetorial F → é conservativo quando existe uma função real tal que ∇ f = F → . Chamamos esta função f de uma função potencial para F → .
  2. O campo vetorial F → é conservativo e a função potencial é:
  3. f x , y , z = e x y z + c

  4. O valor do trabalho da partícula é:

W = e 25 π 2 32 - 1

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