Exercícios Resolvidos de Função Potencial

Diomara, Exemplo 6.10

Considere a curva C parametrizada por σ = e t - 1 ,       sen ( π / t ) , 1 t 2 . Calcule C   F d r , onde F = ( 2 x cos y ,   - x 2 sen   y ) .

Passo 1

A gente podia tentar usar a definição nesse exercício, mas como temos seno na parametrização, ao colocar a parametrização dentro da função teríamos seno do seno e não sabemos integrar esse tipo de coisa. Vamos tentar usar campos conservativos então. Para isso precisamos achar f de modo que

F = f ( x , y )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Seguindo o nosso passo a passo, temos que

f x = 2 x cos y f x , y = x 2 cos y + A ( y )

f y = - x 2 sen   y f x , y = x 2 cos y + B x

Passo 3

Agora comparamos as duas equações para f x , y e chegamos à conclusão que:

x 2 cos y + A y = x 2 cos y + B x

A y = B x = k

Passo 4

Juntando tudo isso, fomos capazes de obter uma função potencial para F :

f x , y = x 2 cos y + k

Por isso, o campo é conservativo! Como temos a liberdade de escolher o k vamos fazer ele igual a zero ;)

Passo 5

Finalmente, podemos calcular a integral pedida. Temos que:

C   F d r = f ( B ) - f ( A )

C   F d r = f ( e ,   1 ) - f ( 1,0 )

C   F d r = e 2 cos 1 - 1

Resposta

e 2 cos 1 - 1

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