Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2014.2, Questão 2cd

Considere a curva plana parametrizada por

α t = 2 cos t ,   s e n   t [ 0 , π ]

  1. Calcule a integral de linha
  2. C   1 + y d x + 1 + x d y

    Onde C   é a curva definida pela parametrização de α .

  3. Calcule a integral de linha

ε   1 + y d x + 1 + x d y

Onde ε é a curva plana definida pela parametrização

β t = 2 cos π - t ,   s e n   π - t , ,   t   [ 0 , π ]

Passo 1

Letra c)

Agora ele pede a integral de linha

C   1 + y d x + 1 + x d y

Repara que

F 2 x = F 1 y = 1

Logo, esse campo, que não apresenta singularidades, é conservativo. Então, podemos resolver isso aqui por função potencial, o que parece ser mais ismples, já que a expressão do campo não é muito complexa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular a função potencial f então, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Temos então o seguinte:

1 + y ,   1 + x = f x ,   f y ,   f z

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = 1 + y f x , y = x + x y + M ( y )

f y = 1 + x f x , y = y + x y + P ( x )

Comparando as equações, vemos que:

M y = y

P x = x

O que nos dá

f x = x + y + x y + k

Passo 3

Agora, precisamos descobrir os pontos inicial e final da curva, substituindo t = 0 e t = π na parametrização da curva:

α t = 2 cos t ,   s e n   t

A = 2,0

B = - 2,0

Passo 4

O problema nos pede a integral de linha

C   1 + y d x + 1 + x d y

E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

C   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva C é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Ou seja, temos:

( 2,0 ) ( - 2,0 ) F .   d r = f - 2,0 - f 2,0 = - 2 + 0 + 0 + k - 2 + 0 + 0 + k = - 4

Passo 5

Letra c)

Bom, vamos fazer o mesmo que fizemos no item anterior. Já que já temos a função potencial, basta calcular os pontos inicial e final dessa nova curva, substituindo t = 0 e t = π na sua parametrização:

β t = 2 cos π - t ,   s e n   π - t ,

C = - 2,0

D = 2,0

Se você reparar, β ( t ) tem os pontos inicial e final intertidos em relação a α . Ou seja, α vai de A para B e β vai de B para C de novo. Portanto, a integral em β é menos a integral em α , que nós já calculamos:

( - 2,0 ) ( 2,0 ) F .   d r = - 2,0 - 2,0 F .   d r = - - 4 = 4

Beleza? Você poderia ter resolvido essa questão com a fórmula da integral de linha vetorial também, mas daria um pouquinho mais de trabalho

Resposta

  1. - 4
  2. 4

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