Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2012.2, Questão 2

Dado o campo vetorial:

F x , y , z = e x sen y + e z cos x , e x cos y + e y sen ( z ) , e y cos z + e z sen x

Determine a integral de linha de F ao longo da curva C parametrizada por:

γ t = t 3 , sen t π 2 , cos t π

Com t 0,1

Passo 1

Está na cara que é pra usar a Lei de Stokes, pois esse campo está com uma cara terrível, e a curva idem. Aplicando: C   F d r = S   r o t F n d s

Calculamos o rotacional de F :

r o t F = i j k x y z e x sen y + e z cos x e x cos y + e y sen ( z ) e y cos z + e z sen x

r o t F = e y cos z - e y cos z , e z cos x - e z cos x , e x cos y - e x cos y

r o t F = 0,0 , 0

Portanto temos um campo conservativo em mãos, o que significa que o campo tem uma função potencial V associada, tal que:

F = V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a definição da função potencial e integrando todos os termos: V x = e x sen y + e z cos x V = e x sen y + e z sen x + A ( y , z ) V y = e x cos y + e y sen ( z ) V = e x sen y + e y sen ( z ) + B ( x , z ) V z = e y cos z + e z sen x V = e y sen ( z ) + e z sen x + C x , y

Igualando todas:

V x , y , z = e x sen ( y ) + e z sen ( x ) + e y sen ( z )

Passo 3

Agora vamos analisar a curva C . Ela liga os pontos:

γ 0 = 0 3 , sen ( 0 ) , cos 0

γ 0 = 0,0 , 1

γ 1 = 1 3 , sen π 2 , cos π

γ 1 = 1,1 , - 1

Portanto, aplicando a integral de linha com a função potencial:

C   F d r = V γ 1 - V γ 0

Fazendo as contas malditas:

V γ 1 = e 1 sen ( 1 ) + e - 1 sen ( 1 ) + e 1 sen ( - 1 )

V γ 1 = e sen ( 1 ) + e - 1 sen ( 1 ) - e sen ( 1 )

V γ 1 = e - 1 sen ( 1 )

V γ 0 = e 0 sen ( 0 ) + e 1 s e n ( 0 ) + e 0 sen ( 1 )

V γ 0 = sen ( 1 )

C   F d r = e - 1 sen ( 1 ) - s e n ( 1 )

Enfim terminamos.

Resposta

C   F d r = e - 1 - 1 s e n ( 1 )

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