Dado o campo vetorial:

F x , y , z = e x sen ⁡ y + e z cos ⁡ x , e x cos ⁡ y + e y sen ⁡ ( z ) , e y cos ⁡ z + e z sen ⁡ x

Determine a integral de linha de F ao longo da curva C parametrizada por:

γ t = t 3 , sen ⁡ t π 2 , cos ⁡ t π

Com t ∈ 0,1

Passo 1

Está na cara que é pra usar a Lei de Stokes, pois esse campo está com uma cara terrível, e a curva idem. Aplicando: ∮ C   F → ∙ d r → = ∬ S   r o t F → ∙ n d s

Calculamos o rotacional de F → :

r o t F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z e x sen ⁡ y + e z cos ⁡ x e x cos ⁡ y + e y sen ⁡ ( z ) e y cos ⁡ z + e z sen ⁡ x

r o t F → = e y cos ⁡ z - e y cos ⁡ z , e z cos ⁡ x - e z cos ⁡ x , e x cos ⁡ y - e x cos ⁡ y

r o t F → = 0,0 , 0

Portanto temos um campo conservativo em mãos, o que significa que o campo tem uma função potencial V associada, tal que:

F → = ∇ V

Passo 2

Aplicando a definição da função potencial e integrando todos os termos: ∂ V ∂ x = e x sen ⁡ y + e z cos ⁡ x → V = e x sen ⁡ y + e z sen ⁡ x + A ( y , z ) ∂ V ∂ y = e x cos ⁡ y + e y sen ⁡ ( z ) → V = e x sen ⁡ y + e y sen ⁡ ( z ) + B ( x , z ) ∂ V ∂ z = e y cos ⁡ z + e z sen ⁡ x → V = e y sen ⁡ ( z ) + e z sen ⁡ x + C x , y

Igualando todas:

V x , y , z = e x sen ⁡ ( y ) + e z sen ⁡ ( x ) + e y sen ⁡ ( z )

Passo 3

Agora vamos analisar a curva C . Ela liga os pontos:

γ 0 = 0 3 , sen ⁡ ( 0 ) , cos ⁡ 0

γ 0 = 0,0 , 1

γ 1 = 1 3 , sen ⁡ π 2 , cos ⁡ π

γ 1 = 1,1 , - 1

Portanto, aplicando a integral de linha com a função potencial:

∮ C   F → ∙ d r → = V γ 1 - V γ 0

Fazendo as contas malditas:

V γ 1 = e 1 sen ⁡ ( 1 ) + e - 1 sen ⁡ ( 1 ) + e 1 sen ⁡ ( - 1 )

V γ 1 = e sen ⁡ ( 1 ) + e - 1 sen ⁡ ( 1 ) - e sen ⁡ ( 1 )

V γ 1 = e - 1 sen ⁡ ( 1 )

V γ 0 = e 0 sen ⁡ ( 0 ) + e 1 s e n ⁡ ( 0 ) + e 0 sen ⁡ ( 1 )

V γ 0 = sen ⁡ ( 1 )

∮ C   F → ∙ d r → = e - 1 sen ⁡ ( 1 ) - s e n ⁡ ( 1 )

Enfim terminamos.

Resposta

∮ C   F → ∙ d r → = e - 1 - 1 s e n ⁡ ( 1 )

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