Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUC-RJ - Cálculo 3 - P2 2012.2 - 3a

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. A função f x , y , z = 1 r , onde r = x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 0 , é um potencial para o campo F r = - 1 r 3 r , para r = x , y , z R 3 - 0,0 , 0 .

Passo 1

Bom, para f ser um potencial do campo F , precisamos que:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Temos que mostrar então o seguinte:

F = f x ,   f y , f z

Primeiro, nós vamos trabalhar com o lado esquerdo dessa equação, depois com o direito, ok?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O campo F pode ser escrito como:

F r = - x r 3 , - y r 3 , - z r 3

Substituindo o valor de r dado pelo enunciado:

F x , y , z = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Beleza?

Passo 3

A função potencial f , pode ser escrita como:

f x , y , z = 1 r = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2

Logo,

f x = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

f y = - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

f z = - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

O que nos dá

f = f x ,   f y , f z = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Passo 4

Assim, nós provamos que:

F = f = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Resposta

Verdadeira.

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