Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UNICAMP, Cálculo 2, P3 - 2014.2 - 5ª Vespertino, Questão 1

Determine se o campo vetorial

F x , y , z = y z e x z   i + ( e x z + 2 y ) j + ( x y e x z + e z )   k

É conservativo. Calcule a integral de linha C   F . d r em que C é a curva dada por

r t = t 2 + 1   i + t 2 - 1   j + t 2 - 2 t k   ,           0 t 2

Passo 1

Vamos começar calculando o rotacional desse campo:

r o t F = ×   F = i j k x y z F 1 F 2 F 3 = F 3 y - F 2 z ,   F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y

r o t F = x e x z - x e x z ,   y e x z + x y z e x z - y e x z - x y z e x z ,   z e x z - z e x z = ( 0,0 , 0 )

Como r o t F = 0 , sabemos que o campo é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, como o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial, não é?

O problema nos pede a integral de linha

r   y z e x z   d x + e x z + 2 y d y + x y e x z + e z d z

E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

r   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva γ é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Vamos calcular f então, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Temos então o seguinte:

y z e x z , e x z + 2 y , x y e x z + e z = f x ,   f y ,   f z

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = y z e x z f x , y , z = y e x z + M ( y , z )

f y = e x z + 2 y   f x , y , z = y e x z + y 2 + P ( x , z )

f z = x y e x z + e z   f x , y , z = y e x z + e z + Q ( x , y )

Comparando as equações, vemos que:

M y , z = y 2 + e z

P x , z = e z

Q x , y = y 2

O que nos dá

f x , y , z = y e x z + y 2 + e z + k

Passo 3

Como o problema define a curva assim:

r t = t 2 + 1   i + t 2 - 1   j + t 2 - 2 t k   ,           0 t 2

O ponto A corresponde a t = 0 , que nos dá

A = ( 1 , - 1,0 )

Para B , temos t = 2 :

B = 5,3 , 0

Passo 4

Agora é só calcular f ( A ) e f ( B ) :

f x , y , z = y e x z + y 2 + e z + k

f 1 , - 1,0 = - 1 + 1 + 1 + k = 1 + k

f 5,3 , 0 = 3 + 9 + 1 + k = 13 + k

Logo,

r   F . d r = f B - f ( A )

r   F . d r = 13 + k - 1 - k = 12

Resposta

12

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