Encontre uma função potencial f para o campo F = y sen ⁡ z i + x sen ⁡ z j + x y cos ⁡ z k

Passo 1

Vamos lá galera, a definição de função potencial é essa aqui

F → = ∇ f x , y , z

Sendo que é esse operador aqui

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Então o que o enunciado quer é que achemos a função f de forma que

F → = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Em outras palavras

∂ f ∂ x = y sen ⁡ z

∂ f ∂ y = x sen ⁡ z

∂ f ∂ z = x y cos ⁡ z

Passo 2

Vamos começar pela primeira equação

∂ f ∂ x = y sen ⁡ z

f = ∫ y sen ⁡ z d x

Como ( y sen ⁡ z ) é constante em relação a x , essa integral fica

f = x y sen ⁡ z + A y , z

Vamos usar as outras equações pra descobrir quem é esse termo A y , z

Passo 3

A segunda equação diz que

∂ f ∂ y = x sen ⁡ z

Mas também sabemos que

f = x y sen ⁡ z + A y , z

Derivando isso em relação a y temos

∂ f ∂ y = x sen ⁡ z + ∂ A ∂ y

Agora é só igual isso que achamos com o valor original

x sen ⁡ z = x sen ⁡ z + ∂ A ∂ y

∂ A ∂ y = 0

Portanto A y , z é constante em relação a y mas pode não ser em relação a z , precisamos descobrir isso. Podemos dizer que

A y , z = B ( z )

f = x y sen ⁡ z + B ( z )

Passo 4

Vamos para a nossa terceira equação pra descobrir esse valor de B z , ela diz que

∂ f ∂ z = x y cos ⁡ z

No passo anterior descobrimos que f pode ser escrito por

f = x y sen ⁡ z + B z

Só precisamos derivar esse cara em relação a z e igualar a equação anterior

∂ f ∂ z = x y cos ⁡ z + ∂ B ∂ z

x y cos ⁡ z + ∂ B ∂ z = x y cos ⁡ z

∂ B ∂ z = 0

Então descobrimos que B z também é constante em relação a z , logo esse termo é uma constante numérica K !

B z = K

Não esqueça desse termo! A função potencial sempre vai ter uma constante K somada a ela!

Passo 5

Encontramos a função potencial! Ela é escrita por

f = x y sen ⁡ z + K

Resposta

f = x y sen ⁡ z + K

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