Exercícios Resolvidos de Função Potencial

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 493-29.

Encontre o trabalho realizado por F = x 2 + y   i + y 2 + x   j + z e z   k sobre os caminhos de ( 1,0 , 0 ) a ( 1,0 , 1 ) a seguir.

  1. O segmento de reta x = 1 , y = 0 , 0 z 1
  2. A hélice r t = cos t   i + sin t   j + t 2 π k , 0 t 2 π
  3. O eixo x de ( 1,0 , 0 ) a 0,0 , 0 seguido pela parábola z = x 2 , y = 0 de 0,0 , 0 a 1,0 , 1 .

Passo 1

Antes de tudo, como ele pede muitas integrais, mas com pontos inicial e final iguais, vale a pena conferir se essas integrais realmente dependem do caminho percorrido ou não, porque se não dependerem, vamos nos dar muito bem, só vamos precisar calcular uma delas, né?

A gente viu na teoria que para a integral não depender do caminho, o campo deve ser conservativo e uma condição suficiente pra isso é que o campo seja irrotacional e definido para o domínio. Então vamos conferir isso?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já começamos com uma boa noticia porque o campo é definido para todo o R 3 , então não teremos problemas quanto a isso.

Só falta conferir o rotacional do campo:

F = F 1 , F 2 , F 3 = x 2 + y , y 2 + x , z e z

Agora, vamos lembrar que campos conservativos devem ser irrotacionais, então vamos testar essa condição:

r o t   F = × F = i j k x y z F 1 F 2 F 3

= z e z y - y 2 + x z i - z e z x - x 2 + y z j + y 2 + x x - x 2 + y y k

= 0 - 0 i - 0 - 0 j + 1 - 1 k = 0

E então garantimos que o campo é conservativo, que ótimo!

Agora é só calcular a integral mais simples e reproduzir o resultado pra todos os itens. Vamos ver como que fica!

Passo 3

a)

O caminho do item a ) parece o mais simples possível, já que é uma reta e tem duas coordenadas constantes, o que deixa o vetor tangente super tranquilo, vamos ver:

C : σ = 1,0 , t ,   0 t 1

E o vetor tangente:

σ ' = d 1 d t , d 0 d t , d t d t = 0,0 , 1

Muito simpático, vamos só jogar na integral:

C F d r = 0 1 1 + 0 ,   0 + 1 ,   t e t 0 ,   0 ,   1   d t = 0 1 t e t   d t

Que não é uma integral trivial, mas da pra fazer por partes, né?

u = t u ' = 1

v ' = e t v = e t

0 1 t e t d t = t e t 0 1 - 0 1 1 e t d t

= 1 e 1 - e t 0 1 = e 1 - e 1 - e 0 = 1

Passo 4

b)

Como dissemos, como o campo é conservativo, então a integral não depende do caminho e, para qualquer curva γ , vamos usar o resultado do item a ) :

γ F d r = C F d r = 1

Passo 5

c)

Mais uma vez, vamos ter a independencia do caminho a nosso favor e, usando o resultado do item a ) :

γ F d r = C F d r = 1

Resposta

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