(1) Uma função potencial Φ x ,   y ,   z para o campo vetorial F → = y z + 2 x y 2 ,   x z + 2 x 2 y ,   x y é:

  1. Φ x ,   y ,   z = x y z + x 2 y 2
  2. Φ x ,   y ,   z = 3 x y z + 2 x 2 y 2
  3. Φ x ,   y ,   z = 3 x y z ,   2 x 2 y 2 ,   0
  4. Φ x ,   y ,   z = x y z
  5. Φ x ,   y ,   z = x y z ,   x 2 ,   y 2

Passo 1

Bem, se o campo tem uma função potencial é porque ele obedece a condição de função potencial, ou seja

F → = ∇ Φ x ,   y ,   z

Exatamente, o campo F → é o gradiente dessa função, e Φ é uma função real, ta ok? Logo descartamos a opção c e e também de cara!

O vetor gradiente de uma função é dado por:

∇ Φ = ∂ Φ ∂ x , ∂ Φ ∂ y , ∂ Φ ∂ z

Passo 2

Podemos ir eliminando os itens que sobraram um a um calculando essas derivadas parciais e verificando se é igual ao campo F → dando como resposta o item a , pois é o único que

Φ x ,   y ,   z = x y z + x 2 y 2

calculando essas três derivadas parciais aí:

∂ Φ ∂ x = ∂ x y z + x 2 y 2 ∂ x = y z + 2 x y 2

∂ Φ ∂ y = ∂ x y z + x 2 y 2 ∂ y = x z + 2 y x 2

∂ Φ ∂ z = ∂ x y z + x 2 y 2 ∂ z = x y                            

Logo, o vetor gradiente é:

∇ Φ = y z + 2 x y 2 , x z + 2 y x 2 , x y

Observe que ele é exatamente igual ao campo F → :

F → = y z + 2 x y 2 ,   x z + 2 x 2 y ,   x y

Resposta

a )     Φ x ,   y ,   z = x y z + x 2 y 2

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