Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2017.2, Questão ME1

(1) Uma função potencial Φ x ,   y ,   z para o campo vetorial F = y z + 2 x y 2 ,   x z + 2 x 2 y ,   x y é:

  1. Φ x ,   y ,   z = x y z + x 2 y 2
  2. Φ x ,   y ,   z = 3 x y z + 2 x 2 y 2
  3. Φ x ,   y ,   z = 3 x y z ,   2 x 2 y 2 ,   0
  4. Φ x ,   y ,   z = x y z
  5. Φ x ,   y ,   z = x y z ,   x 2 ,   y 2

Passo 1

Bem, se o campo tem uma função potencial é porque ele obedece a condição de função potencial, ou seja

F = Φ x ,   y ,   z

Exatamente, o campo F é o gradiente dessa função, e Φ é uma função real, ta ok? Logo descartamos a opção c e e também de cara!

O vetor gradiente de uma função é dado por:

Φ = Φ x , Φ y , Φ z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos ir eliminando os itens que sobraram um a um calculando essas derivadas parciais e verificando se é igual ao campo F dando como resposta o item a , pois é o único que

Φ x ,   y ,   z = x y z + x 2 y 2

calculando essas três derivadas parciais aí:

Φ x = x y z + x 2 y 2 x = y z + 2 x y 2

Φ y = x y z + x 2 y 2 y = x z + 2 y x 2

Φ z = x y z + x 2 y 2 z = x y                            

Logo, o vetor gradiente é:

Φ = y z + 2 x y 2 , x z + 2 y x 2 , x y

Observe que ele é exatamente igual ao campo F :

F = y z + 2 x y 2 ,   x z + 2 x 2 y ,   x y

Resposta

a )     Φ x ,   y ,   z = x y z + x 2 y 2

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